3 La sucesión $a_1, a_2,..., a_{2000}$ de números reales satisface la condición \[a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=(a_1+a_2+...+a_n)^2\] para todo $n$, $1\leq n \leq 2000$. Demuestre que cada elemento de la sucesión es un entero.

2 Llamamos $S(n)$ a la suma de los dígitos del entero $n$. Por ejemplo, $S(327)=3+2+7=12$. Encuentre el valor de $$A=S(1)-S(2)+S(3)-S(4)+...+S(2011)-S(2012).$$ ($A$ tiene $2012$ términos).

1 Pablo dice: “Sumo $2$ a mi día de cumpleaños y multiplico el resultado por $2$. Al número obtenido le sumo $4$ y multiplico el resultado por $5$. Al nuevo número obtenido le sumo el número del mes de mi cumpleaños (por ejemplo, si es junio, sumo $6$) y obtengo $342$”. ¿Cuál es la fecha de cumpleaños de Pablo? Dé todas las posibilidades.

3 Sea un trapecio circunscrito $ ABCD$ con circunferencia circunscrita $ \omega$ y dos lados paralelos $ AD,BC$ ( $ BC<AD$ ). La recta tangente a la circunferencia $ \omega$ en el punto $ C$ se corta con la recta $ AD$ en el punto $ P$. $ PE$ es otra recta tangente a la circunferencia $ \omega$ y $ E\in\omega$. La recta $ BP$ corta a la circunferencia $ \omega$ en el punto $ K$. La recta que pasa por el punto $ C$ paralela a $ AB$ se interseca con $ AE$ y $ AK$ en los puntos $ N$ y $ M$ respectivamente. Demuestre que $ M$ es el punto medio del segmento $ CN$.

1 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que \[ f( xf(x) + f(y) ) = f^2(x) + y \] para todo $x,y\in \mathbb R$.

2 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $A$, cuyo cateto mide $1$ cm. La bisectriz del ángulo $BAC$ corta a la hipotenusa en $R$, la perpendicular a $AR$ en $R$ corta al lado $AB$ en su punto medio. Encuentre la medida del lado $AB$.

1 Encuentre el entero $n$ más pequeño tal que un cuadrado de $n\times n$ pueda ser particionado en cuadrados de $40\times 40$ y $49\times 49$, con ambos tipos de cuadrados presentes en la partición, si a) $40|n$ ; b) $49|n$ ; c) $n\in \mathbb N$ .

4 Encuentre el menor número natural cuya última cifra es 7, tal que se vuelve 5 veces mayor cuando esta última cifra se traslada al principio del número.

2 Sean $a, b, c, d$ enteros positivos tales que $a > b > c > d$ y $(a + b - c + d) \mid (ac + bd)$. Demuestre que si $m$ es un entero positivo arbitrario y $n$ es un entero positivo impar arbitrario, entonces $a^n b^m + c^m d^n$ es un número compuesto.

3 Dos círculos con radios a y b respectivamente se tocan externamente. Sea c el radio de un círculo que toca a estos dos círculos así como a una tangente común a los dos círculos. Demuestre que \[ \frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\]