10 Decimos que un entero positivo libre de cuadrados $n$ es casi primo si \[n \mid x^{d_1}+x^{d_2}+\dots+x^{d_k}-kx\] para todo entero $x$, donde $1=d_1<d_2<\dots<d_k=n$ son todos los divisores positivos de $n$. Suponga que $r$ es un primo de Fermat (es decir, es un primo de la forma $2^{2^m}+1$ para un entero $m \ge 0$), $p$ es un divisor primo de un entero casi primo $n$, y $p \equiv 1 \pmod{r}$. Demuestre que, con la notación anterior, $d_i \equiv 1 \pmod{r}$ para todo $1 \le i \le k$. (Un entero $n$ se llama libre de cuadrados si no es divisible por $d^2$ para ningún entero $d>1$.)