8 Defina la sucesión $x_1,x_2,\dots$ mediante los términos iniciales $x_1=2, x_2=4$ y la relación de recurrencia \[x_{n+2}=3x_{n+1}-2x_n+\frac{2^n}{x_n} \quad \text{para} \quad n \ge 1.\] Demuestre que $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{2^n}$ existe y satisface \[\frac{1+\sqrt{3}}{2} \le \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{2^n} \le \frac{3}{2}.\]