7 Sea $\omega$ un círculo en el plano. Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ círculos que son tangentes internamente a $\omega$ en los puntos $A$ y $B$ respectivamente. Sean los centros de $\omega_1$ y $\omega_2$, $O_1$ y $O_2$ respectivamente, y sean los puntos de intersección de $\omega_1$ y $\omega_2$, $X$ e $Y$. Suponga que $X$ se encuentra sobre la recta $AB$. Sea la tangente externa común a $\omega_1$ y $\omega_2$ que está más cerca del punto $Y$ tangente a los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ en $K$ y $L$ respectivamente. Sea el segundo punto de intersección de la recta $AK$ y $\omega$, $P$, y sea el segundo punto de intersección del circuncírculo de $PKL$ y $\omega$, $S$. Sea el circuncentro de $AKL$, $Q$, y sean los puntos de intersección de $SQ$ y $O_1O_2$, $R$. Demuestre que $$\frac{\overline{O_1R}}{\overline{RO_2}}=\frac{\overline{AX}}{\overline{XB}}$$