La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Phorphyrion 409 publicaciones Phorphyrion #1 h 22 de mayo de 2022, 4:32 PM • 2 Y Y por ImSh95, mikestro Los números $a$ , $b$ , y $c$ son reales. Demuestre que $$(a^5+b^5+c^5+a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2)^2\geq 4(a^2+b^2+c^2)(a^5b^3+b^5c^3+c^5a^3)$$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Phorphyrion, 23 de mayo de 2022, 3:04 AM Razón: Error tipográfico en el último paréntesis Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jbaca 225 publicaciones jbaca #1 h 28 de ago. de 2019, 2:51 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Martin tiene dos cajas $A$ y $B$. En la caja $A$ hay $100$ bolas rojas numeradas del $1$ al $100$, cada una con uno de estos números. En la caja $B$ hay $100$ bolas azules numeradas del $101$ al $200$, cada una con uno de estos números. Martin elige dos enteros positivos $a$ y $b$, ambos menores o iguales a $100$, y luego extrae $a$ bolas de la caja $A$ y $b$ bolas de la caja $B$, sin reemplazo. El objetivo de Martin es tener dos bolas rojas y una bola azul entre todas las bolas extraídas tales que la suma de los números de las dos bolas rojas sea igual al número de la bola azul. ¿Cuál es el menor valor posible de $a+b$ para que Martin logre su objetivo con seguridad? Para dicho valor mínimo de $a+b$, dé un ejemplo de $a$ y $b$ que satisfagan el objetivo y explique por qué cualquier $a$ y $b$ con una suma menor no pueden cumplir el propósito. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jbaca 225 publicaciones jbaca #1 h 28 de agosto de 2019, 3:42 PM • 3 Y Y por Adventure10, nr102, pomodor_ap Encuentre todos los números primos positivos $p,q,r,s$ tales que $p^2+2019=26(q^2+r^2+s^2)$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NO_SQUARES 1164 publicaciones NO_SQUARES #1 h 5 de mayo de 2025, 11:56 a. m. • 1 Y Y por Oksutok Se dan números enteros positivos $n$ y $k > 1$. A Losyash le gustan algunas de las celdas de un tablero de ajedrez de $n \times n$. Además, le interesa cualquier rectángulo cuadriculado con un perímetro de $2n + 2$, cuya esquina superior izquierda coincida con la esquina superior izquierda del tablero (hay $n$ rectángulos de este tipo en total). Dados $n$ y $k$, determine si Losyash puede colorear cada celda que le gusta con uno de $k$ colores de modo que, en cualquier rectángulo de su interés, la cantidad de celdas de cualesquiera dos colores difiera en no más de $1$. Z K Y

Una hormiga se mueve en el plano de coordenadas, comenzando desde el punto $(0,-1)$ a lo largo de una línea recta hasta que alcanza el eje $x$ en el punto $(x,0)$, donde $x$ es un número real. Después, gira $90^o$ a la izquierda y se mueve nuevamente a lo largo de una línea recta hasta que alcanza el eje $y$. Luego, gira de nuevo a la izquierda y se mueve a lo largo de una línea recta hasta que alcanza el eje $x$, donde gira una vez más $90^o$ a la izquierda y se mueve a lo largo de una línea recta hasta que finalmente alcanza el eje $y$. ¿Pueden tanto la longitud del recorrido de la hormiga como la distancia entre su punto inicial y final ser: (a) números racionales? (b) números enteros? Justifique sus respuestas.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mofumofu 182 publicaciones mofumofu #1 h 22 de ene. de 2021, 11:05 p. m. • 2 Y Y por Leondorus, SMSGodslayer En el triángulo acutángulo $\triangle ABC$ , $BC>AC$ , $\Gamma$ es su circunferencia circunscrita, $D$ es un punto en el segmento $AC$ y $E$ es la intersección del círculo con diámetro $CD$ y $\Gamma$ . $M$ es el punto medio de $AB$ y $CM$ corta a $\Gamma$ nuevamente en $Q$ . Las tangentes a $\Gamma$ en $A,B$ se cortan en $P$ , y $H$ es el pie de la perpendicular desde $P$ a $BQ$ . $K$ es un punto en la recta $HQ$ tal que $Q$ se encuentra entre $H$ y $K$ . Demuestre que $\angle HKP=\angle ACE$ si y solo si $\frac{KQ}{QH}=\frac{CD}{DA}$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33697 publicaciones parmenides51 #1 h 9 de sep. de 2019, 11:58 a. m. • 3 Y Y por nguyendangkhoa17112003, Adventure10, Mango247 Consideramos la sucesión real ( $x_n$ ) definida por $x_0=0, x_1=1$ y $x_{n+2}=3x_{n+1}-2 x_{n}$ para $n=0,1,2,...$ Definimos la sucesión ( $y_n$ ) mediante $y_n=x^2_n+2^{n+2}$ para todo entero no negativo $n$. Demuestre que para todo $n>0, y_n$ es el cuadrado de un entero impar. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33697 publicaciones parmenides51 #1 h 9 de sep. de 2019, 11:47 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $f: N \to N$ una función que satisface (a) $1\le f(x)-x \le 2019$ $\forall x \in N$ (b) $f(f(x))\equiv x$ (mod $2019$ ) $\forall x \in N$ Demuestre que $\exists x \in N$ tal que $f^k(x)=x+2019 k, \forall k \in N$ Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 9 de sep. de 2019, 11:53 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NO_SQUARES 1164 publicaciones NO_SQUARES #1 h 5 de mayo de 2025, 11:40 a. m. • 2 Y Y por Rounak_iitr, cubres Los números del $1$ al $2025$ están dispuestos en algún orden en las celdas de una tira de $1 \times 2025$. Llamemos "flip" a una operación que toma dos celdas arbitrarias de una tira e intercambia los números escritos en ellas, pero solo si el mayor de estos números está ubicado a la izquierda del menor. Un "flop" es un conjunto de varios "flips" que no contienen celdas comunes y que se ejecutan simultáneamente. (Por ejemplo, un "flip" simultáneo entre la 2.ª y la 8.ª celda y un "flip" entre la 5.ª y la 101.ª celda). Demuestre que existe una sucesión de $66$ "flops" tal que, para cualquier disposición inicial, al aplicar esta sucesión de "flops" a la misma, los números resultarán ordenados de izquierda a derecha en orden ascendente. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. dgrozev 2513 publicaciones dgrozev #1 h 4 de agosto de 2020, 6:13 a. m. • 3 Y Y por rightways, Mango247, cubres Dados dos números naturales impares $ a,b$ demuestre que para cada $ n\in\mathbb{N}$ existe $ m\in\mathbb{N}$ tal que $ a^mb^2-1$ o $ b^ma^2-1$ es múltiplo de $ 2^n.$ Z K Y