La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Megus 1198 publicaciones Megus #1 h 8 de abr. de 2006, 12:03 p. m. • 7 Y Y por quangminhltv99, Adventure10, megarnie, Rounak_iitr, Mango247 y otros 2 usuarios Encuentre todos los pares de enteros $a,b$ para los cuales existe un polinomio $P(x) \in \mathbb{Z}[X]$ tal que el producto $(x^2+ax+b)\cdot P(x)$ es un polinomio de la forma \[ x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0 \] donde cada uno de los coeficientes $c_0,c_1,\ldots,c_{n-1}$ es igual a $1$ o $-1$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. outback 293 publicaciones outback #1 h 27 de sep. de 2008, 10:55 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Se nos dan $2001$ globos y un entero positivo $k$. Cada globo ha sido inflado hasta un cierto tamaño (no necesariamente el mismo para cada globo). En cada paso, se permite elegir como máximo $k$ globos e igualar sus tamaños a su media aritmética. Determine el valor más pequeño de $k$ tal que, cualesquiera que sean los tamaños iniciales, sea posible hacer que todos los globos tengan el mismo tamaño después de un número finito de pasos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 28 de sep. de 2004, 7:49 a. m. • 9 Y Y por Davi-8191, mathematicsy, Adventure10, jhu08, megarnie, ImSh95, Mango247, Rounak_iitr, ItsBesi El círculo $S$ tiene centro $O$, y $BC$ es un diámetro de $S$. Sea $A$ un punto de $S$ tal que $\angle AOB<120{{}^\circ}$. Sea $D$ el punto medio del arco $AB$ que no contiene a $C$. La recta que pasa por $O$ y es paralela a $DA$ corta a la recta $AC$ en $I$. La mediatriz de $OA$ corta a $S$ en $E$ y en $F$. Demuestre que $I$ es el incentro del triángulo $CEF$. Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por orl, 27 de sep. de 2005, 11:58 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NO_SQUARES 1164 publicaciones NO_SQUARES #1 h 10 de julio de 2024, 3:19 a. m. Y por Una fábrica de juguetes produce varios tipos de juguetes de arcilla. Los juguetes se pintan en $k$ colores. La diversidad de un color es el número de juguetes diferentes de ese color. (Por lo tanto, si hay $5$ gatos azules, $7$ ratones azules y nada más es azul, la diversidad del color azul es $2$). El protocolo de pintura requiere que se utilice cada color y que las diversidades de cada dos colores sean diferentes. Los juguetes en la tienda podrían pintarse de acuerdo con el protocolo. Sin embargo, un lote de Cheburashkas de arcilla llegó a la tienda antes de ser pintado (no había Cheburashkas antes). El número de Cheburashkas no es menor que el número de juguetes de cualquier otro tipo. El número total de todos los juguetes, incluidos los Cheburashkas, es al menos $\frac{(k+1)(k+2)}{2}$. Demuestre que ahora los juguetes pueden pintarse en $k + 1$ colores de acuerdo con el protocolo. Propuesto por F. Petrov Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 28 de sep. de 2004, 8:05 a. m. • 15 Y Y por Davi-8191, dangerousliri, mathematicsy, leozitz, Adventure10, megarnie, TFIRSTMGMEDALIST, son7, ImSh95, Mango247, Captainscrubz, ItsBesi, cubres, aqusha_mlp12, SuperBarsh Sea $n\geq2$ un entero positivo, con divisores $1=d_1<d_2<\,\ldots<d_k=n$. Demuestre que $d_1d_2+d_2d_3+\,\ldots\,+d_{k-1}d_k$ es siempre menor que $n^2$, y determine cuándo es un divisor de $n^2$. Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por orl, 27 de sep. de 2005, 12:00 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NO_SQUARES 1164 publicaciones NO_SQUARES #1 h 10 de julio de 2024, 3:01 a. m. • 1 Y Y por GeoKing Sea un triángulo $ABC$. Sean $N$ y $M$ los puntos medios de $AB$ y $BC$, respectivamente. La bisectriz del ángulo $B$ corta al segmento $MN$ en $E$. Sea $H$ el pie de la altura trazada desde $B$ en el triángulo $ABC$. El punto $T$ en el circuncírculo de $ABC$ es tal que los circuncírculos de $TMN$ y $ABC$ son tangentes. Demuestre que los puntos $T, H, E, B$ son concíclicos. Propuesto por M. Yumatov Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathscrazy 116 publicaciones mathscrazy #1 h 29 de dic. de 2024, 6:35 a. m. • 2 Y Y por radian_51, mxsail Alice y Bob juegan un juego. Inicialmente, escriben el par $(1012,1012)$ en el tablero. Alternan sus turnos y Alice comienza primero. En cada turno, el jugador puede transformar el par $(a,b)$ en $(a-2, b+1)$, $(a+1, b-2)$ o $(a-1, b)$, siempre que el par resultante tenga solo valores no negativos. El juego termina cuando no es posible realizar ningún movimiento legal. Alice gana si el juego termina en $(0,0)$ y Bob gana si el juego termina en $(0,1)$. Determine quién tiene la estrategia ganadora. Propuesto por Shashank Ingalagavi y Krutarth Shah Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. epitomy01 240 publicaciones epitomy01 #1 h 12 de junio de 2006, 4:50 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Supongamos que tenemos un $n$-gono. Algunas $n-3$ diagonales están coloreadas de negro y otras $n-3$ diagonales están coloreadas de rojo (un lado no es una diagonal), de tal manera que no hay dos diagonales del mismo color que se corten estrictamente dentro del polígono, aunque pueden compartir un vértice. Encuentre el número máximo de puntos de intersección entre diagonales de distinto color estrictamente dentro del polígono, en términos de $n$. Propuesto por Alexander Ivanov, Bulgaria Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por epitomy01, 13 de junio de 2006, 4:58 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. egxa 219 publicaciones egxa #1 h 18 de abril de 2025, 3:54 a. m. Y por Petya y Vasya están jugando un juego en una cuadrícula de \(100 \times 100\) inicialmente vacía, turnándose. Petya comienza primero. En su turno, un jugador escribe una letra mayúscula rusa en una celda vacía (cada celda solo puede contener una letra). Cuando todas las celdas están llenas, Petya es declarado ganador si hay cuatro celdas consecutivas horizontalmente que deletrean la palabra ``ПЕТЯ'' (PETYA) de izquierda a derecha, o cuatro celdas consecutivas verticalmente que deletrean ``ПЕТЯ'' de arriba a abajo. ¿Puede Petya garantizar una victoria independientemente de los movimientos de Vasya? Z K Y