La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NO_SQUARES 1164 publicaciones NO_SQUARES #1 h 10 de julio de 2024, 3:01 a. m. • 1 Y Y por GeoKing Sea un triángulo $ABC$. Sean $N$ y $M$ los puntos medios de $AB$ y $BC$, respectivamente. La bisectriz del ángulo $B$ corta al segmento $MN$ en $E$. Sea $H$ el pie de la altura trazada desde $B$ en el triángulo $ABC$. El punto $T$ en el circuncírculo de $ABC$ es tal que los circuncírculos de $TMN$ y $ABC$ son tangentes. Demuestre que los puntos $T, H, E, B$ son concíclicos. Propuesto por M. Yumatov Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. rrrrrrl 24 publicaciones rrrrrrl #1 h 21 de marzo de 2023, 1:44 p. m. Y Mia está jugando al siguiente juego. Ella escribe los números $1, 2, 3, \dots, n$ en algún orden en los lados de un polígono regular de $n$ lados. Luego, en cada vértice del polígono, escribe la suma de los números de los dos lados que se encuentran en dicho vértice. Mia gana si los $n$ números en los vértices pueden escribirse en algún orden para formar una progresión aritmética. ¿Para qué enteros $n \ge 3$ puede Mia ganar este juego? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. crocodilepradita 152 publicaciones crocodilepradita #1 h 6 de julio de 2024, 9:24 a. m. • 1 Y Y por mathhotspot Dado un tablero de tamaño $25\times 25$. Algunos cuadrados de $1\times 1$ están marcados, de tal manera que para cada subtablero de $13\times 13$ y $4\times 4$, hay al menos $\frac{1}{2}$ partes marcadas del subtablero. Encuentre la menor cantidad posible de cuadrados marcados en todo el tablero. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por crocodilepradita, 6 de julio de 2024, 10:36 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NO_SQUARES 1164 publicaciones NO_SQUARES #1 h 10 de julio de 2024, 3:07 AM Y por La extensión de la bisectriz del ángulo $BL$ del triángulo $ABC$ (donde $AB < BC$) corta a su circuncírculo en $N$. Sea $M$ el punto medio de $BL$. Se construye un triángulo isósceles $BDC$ con base $BC$ y ángulo igual a $ABC$ en $D$ fuera del triángulo $ABC$. Demuestre que $CM \perp DN$. Propuesto por А. Mardanov Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NO_SQUARES 1164 publicaciones NO_SQUARES #1 h 10 de julio de 2024, 3:13 AM Y por Dados los trinomios cuadráticos $f$ y $g$ con coeficientes enteros. Para cada entero positivo $n$ existe un entero $k$ tal que \[\frac{f(k)}{g(k)}=\frac{n + 1}{n}. \] Demuestre que $f$ y $g$ tienen una raíz común. Propuesto por A. Golovanov Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por NO_SQUARES, 10 de julio de 2024, 3:39 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NO_SQUARES 1164 publicaciones NO_SQUARES #1 h 10 de julio de 2024, 3:19 a. m. Y por Una fábrica de juguetes produce varios tipos de juguetes de arcilla. Los juguetes se pintan en $k$ colores. La diversidad de un color es el número de juguetes diferentes de ese color. (Por lo tanto, si hay $5$ gatos azules, $7$ ratones azules y nada más es azul, la diversidad del color azul es $2$). El protocolo de pintura requiere que se utilice cada color y que las diversidades de cada dos colores sean diferentes. Los juguetes en la tienda podrían pintarse de acuerdo con el protocolo. Sin embargo, un lote de Cheburashkas de arcilla llegó a la tienda antes de ser pintado (no había Cheburashkas antes). El número de Cheburashkas no es menor que el número de juguetes de cualquier otro tipo. El número total de todos los juguetes, incluidos los Cheburashkas, es al menos $\frac{(k+1)(k+2)}{2}$. Demuestre que ahora los juguetes pueden pintarse en $k + 1$ colores de acuerdo con el protocolo. Propuesto por F. Petrov Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. egxa 219 publicaciones egxa #1 h 18 de abr. de 2025, 3:45 a. m. • 1 Y Y por Tung-CHL $777$ números complejos distintos entre sí están escritos en una pizarra. Resulta que hay exactamente 760 formas de elegir dos números \(a\) y \(b\) de la pizarra tales que: \[ a^2 + b^2 + 1 = 2ab \] Las formas que difieren por el orden de selección se consideran iguales. Demuestre que existen dos números \(c\) y \(d\) en la pizarra tales que: \[ c^2 + d^2 + 2025 = 2cd \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. egxa 219 publicaciones egxa #1 h 18 de abril de 2025, 3:54 a. m. Y por Petya y Vasya están jugando un juego en una cuadrícula de \(100 \times 100\) inicialmente vacía, turnándose. Petya comienza primero. En su turno, un jugador escribe una letra mayúscula rusa en una celda vacía (cada celda solo puede contener una letra). Cuando todas las celdas están llenas, Petya es declarado ganador si hay cuatro celdas consecutivas horizontalmente que deletrean la palabra ``ПЕТЯ'' (PETYA) de izquierda a derecha, o cuatro celdas consecutivas verticalmente que deletrean ``ПЕТЯ'' de arriba a abajo. ¿Puede Petya garantizar una victoria independientemente de los movimientos de Vasya? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. N.T.TUAN 3595 publicaciones N.T.TUAN #1 h 30 de mar. de 2007, 9:47 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Las tangentes a su circuncírculo en $A, B, C$ forman un triángulo $PQR$ con $C \in PQ$ y $B \in PR$. Sea $C_{1}$ el pie de la altura desde $C$ en $\Delta ABC$. Demuestre que $CC_{1}$ biseca a $\widehat{QC_{1}P}$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. N.T.TUAN 3595 publicaciones N.T.TUAN #1 h 30 de marzo de 2007, 9:54 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $d > 0$ un número real arbitrario. Considere el conjunto $S_{n}(d)=\{s=\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...+\frac{1}{x_{n}}|x_{i}\in\mathbb{N},s<d\}$. Demuestre que $S_{n}(d)$ tiene un elemento máximo. Z K Y