La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. outback 293 publicaciones outback #1 h 27 de sep. de 2008, 10:55 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Se nos dan $2001$ globos y un entero positivo $k$. Cada globo ha sido inflado hasta un cierto tamaño (no necesariamente el mismo para cada globo). En cada paso, se permite elegir como máximo $k$ globos e igualar sus tamaños a su media aritmética. Determine el valor más pequeño de $k$ tal que, cualesquiera que sean los tamaños iniciales, sea posible hacer que todos los globos tengan el mismo tamaño después de un número finito de pasos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 28 de sep. de 2004, 8:31 a. m. • 9 Y Y por Amir Hossein, mssmath, Davi-8191, AopsUser101, Adventure10, megarnie, Mango247, ahxun2006, cubres Sea $n$ un entero positivo. Cada punto $(x,y)$ en el plano, donde $x$ e $y$ son enteros no negativos con $x+y<n$, se colorea de rojo o azul, sujeto a la siguiente condición: si un punto $(x,y)$ es rojo, entonces también lo son todos los puntos $(x',y')$ con $x'\leq x$ e $y'\leq y$. Sea $A$ el número de formas de elegir $n$ puntos azules con coordenadas $x$ distintas, y sea $B$ el número de formas de elegir $n$ puntos azules con coordenadas $y$ distintas. Demuestre que $A=B$. Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 4 veces. Última edición por orl, 27 de sep. de 2005, 11:57 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 28 de sep. de 2004, 7:49 a. m. • 9 Y Y por Davi-8191, mathematicsy, Adventure10, jhu08, megarnie, ImSh95, Mango247, Rounak_iitr, ItsBesi El círculo $S$ tiene centro $O$, y $BC$ es un diámetro de $S$. Sea $A$ un punto de $S$ tal que $\angle AOB<120{{}^\circ}$. Sea $D$ el punto medio del arco $AB$ que no contiene a $C$. La recta que pasa por $O$ y es paralela a $DA$ corta a la recta $AC$ en $I$. La mediatriz de $OA$ corta a $S$ en $E$ y en $F$. Demuestre que $I$ es el incentro del triángulo $CEF$. Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por orl, 27 de sep. de 2005, 11:58 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 28 de sep. de 2004, 8:11 a. m. • 11 Y Y por Davi-8191, JasperL, Adventure10, ImSh95, Mango247, bjump, Tastymooncake2, cubres, luci1337 y otros 2 usuarios Encuentre todos los pares de enteros positivos $m,n\geq3$ para los cuales existen infinitos enteros positivos $a$ tales que \[ \frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1} \] es, a su vez, un entero. Laurentiu Panaitopol, Rumania Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 6 veces. Última edición por orl, 27 de sep. de 2005, 11:59 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 28 de sep. de 2004, 8:05 a. m. • 15 Y Y por Davi-8191, dangerousliri, mathematicsy, leozitz, Adventure10, megarnie, TFIRSTMGMEDALIST, son7, ImSh95, Mango247, Captainscrubz, ItsBesi, cubres, aqusha_mlp12, SuperBarsh Sea $n\geq2$ un entero positivo, con divisores $1=d_1<d_2<\,\ldots<d_k=n$. Demuestre que $d_1d_2+d_2d_3+\,\ldots\,+d_{k-1}d_k$ es siempre menor que $n^2$, y determine cuándo es un divisor de $n^2$. Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por orl, 27 de sep. de 2005, 12:00 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 28 de sep. de 2004, 8:20 a. m. • 12 Y Y por amatysten, Davi-8191, tenplusten, e_plus_pi, mathematicsy, Adventure10, megarnie, ImSh95, Stuart111, Mango247, Rounak_iitr, cubres Encuentre todas las funciones $f$ de los números reales a los números reales tales que \[ \left(f(x)+f(z)\right)\left(f(y)+f(t)\right)=f(xy-zt)+f(xt+yz) \] para todos los números reales $x,y,z,t$. Esta publicación ha sido editada 4 veces. Última edición por orl, 27 de sep. de 2005, 11:57 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 28 de sep. de 2004, 7:57 a. m. • 8 Y Y por Davi-8191, ValidName, Adventure10, megarnie, Mango247 y otros 3 usuarios Sea $n\geq3$ un entero positivo. Sean $C_1,C_2,C_3,\ldots,C_n$ círculos unitarios en el plano, con centros $O_1,O_2,O_3,\ldots,O_n$ respectivamente. Si ninguna recta corta a más de dos de los círculos, demuestre que \[ \sum\limits^{}_{1\leq i<j\leq n}{1\over O_iO_j}\leq{(n-1)\pi\over 4}. \] Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por orl, 27 de sep. de 2005, 11:58 a. m. Z K Y