La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de julio de 2011, 7:08 a. m. • 34 Y Y por LordofAngaband, hwl0304, Davi-8191, anantmudgal09, Ankoganit, Wizard_32, magicarrow, The_Maitreyo1, OlympusHero, myh2910, mathleticguyyy, Lcz, megarnie, squareroot12621, ihatemath123, Deinoncyus_Ban, Adventure10, Mango247, MathLuis, axsolers_24, zhenghua, oVlad, Rounak_iitr y otros 11 usuarios. Sea $\mathcal{S}$ un conjunto finito de al menos dos puntos en el plano. Suponga que no hay tres puntos de $\mathcal S$ que sean colineales. Un molino de viento es un proceso que comienza con una recta $\ell$ que pasa por un único punto $P \in \mathcal S$. La recta gira en sentido horario alrededor del pivote $P$ hasta la primera vez que la recta encuentra algún otro punto perteneciente a $\mathcal S$. Este punto, $Q$, toma el relevo como el nuevo pivote, y la recta ahora gira en sentido horario alrededor de $Q$, hasta que encuentra el siguiente punto de $\mathcal S$. Este proceso continúa indefinidamente. Demuestre que podemos elegir un punto $P$ en $\mathcal S$ y una recta $\ell$ que pase por $P$ tal que el molino de viento resultante utilice cada punto de $\mathcal S$ como pivote infinitas veces. Propuesto por Geoffrey Smith, Reino Unido Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 13 de julio de 2023, 1:45 PM Y por En el plano, se eligen $2022$ puntos tales que no hay tres puntos sobre la misma recta. Cada uno de los puntos se colorea de rojo o azul de tal manera que cada triángulo formado por tres puntos rojos distintos contiene al menos un punto azul. ¿Cuál es el mayor número posible de puntos rojos? Propuesto por Art Waeterschoot, Bélgica Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por a_507_bc, 4 de octubre de 2023, 10:10 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 13 de julio de 2023, 1:44 PM • 1 Y Y por NO_SQUARES Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y sea $AI$ la recta que corta a $BC$ en $D$. Sea $E$ un punto en el segmento $AC$ tal que $CD=CE$ y sea $F$ un punto en el segmento $AB$ tal que $BF=BD$. Sean $(CEI) \cap (DFI)=P \neq I$ y $(BFI) \cap (DEI)=Q \neq I$. Demuestre que $PQ \perp BC$. Propuesto por Leonardo Franchi, Italia. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por a_507_bc, 4 de octubre de 2023, 10:10 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 13 de julio de 2023, 1:42 PM Y por A binoku es una cuadrícula de $9 \times 9$ que está dividida en nueve subcuadrículas de $3 \times 3$ con las siguientes propiedades: - cada celda contiene un $0$ o un $1$, - cada fila contiene al menos un $0$ y al menos un $1$, - cada columna contiene al menos un $0$ y al menos un $1$, y - cada una de las nueve subcuadrículas contiene al menos un $0$ y al menos un $1$. Un binoku incompleto se obtiene a partir de un binoku eliminando los números de algunas de las celdas. ¿Cuál es el mayor número de celdas vacías que puede contener un binoku incompleto si puede completarse para formar un binoku de manera única? Propuesto por Stijn Cambie, Corea del Sur Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por a_507_bc, 5 de octubre de 2023, 11:14 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Kamikaze-1 4 publicaciones Kamikaze-1 #1 h 4 de julio de 2023, 12:41 PM Y por Hay $n!$ cestas vacías en una fila, etiquetadas $1, 2, . . . , n!$. César primero pone una piedra en cada cesta. Luego, César pone 2 piedras en cada segunda cesta. César continúa de manera similar hasta que ha puesto $n$ piedras en cada enésima cesta. En otras palabras, para cada $i = 1, 2, . . . , n,$ César pone $i$ piedras en las cestas etiquetadas $i, 2i, 3i, . . . , n!.$ Sea $x_i$ el número de piedras en la cesta $i$ después de todos estos pasos. Demuestre que $n! \cdot n^2 \leq \sum_{i=1}^{n!} x_i^2 \leq n! \cdot n^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} $ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Kamikaze-1, 4 de julio de 2023, 12:45 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 13 de julio de 2023, 1:39 PM • 1 Y Y por Amir Hossein Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que $f(1) \neq f(-1)$ y $$f(m+n)^2 \mid f(m)-f(n)$$ para todos los enteros $m, n$. Propuesto por Liam Baker, Sudáfrica Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por a_507_bc, 5 de octubre de 2023, 11:14 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ericxyzhu 49 publicaciones ericxyzhu #1 h 3 de noviembre de 2022, 3:16 PM Y por ¿Cuántas ternas $(a,b,c)$ con $a,b,c \in \mathbb{R}$ satisfacen el siguiente sistema? $$\begin{cases} a^4-b^4=c \\ b^4-c^4=a \\ c^4-a^4=b \end{cases}$$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por ericxyzhu, 20 de julio de 2023, 4:52 PM Razón: Error tipográfico Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ericxyzhu 49 publicaciones ericxyzhu #1 h 3 de noviembre de 2022, 3:27 PM • 1 Y Y por Kawhi2 Los enteros positivos $x$ e $y$ son tales que $x^{2022}+x+y^2$ es divisible por $xy$. a) Dé un ejemplo de tales enteros $x$ e $y$, con $x>y$. b) Demuestre que $x$ es un cuadrado perfecto. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. F_Xavier1203 18 publicaciones F_Xavier1203 #1 h 13 de ago. de 2022, 8:58 PM Y por Sea $n\ge 3$ un entero positivo. Amy escribió todos los enteros del $1$ al $n^2$ en una cuadrícula de $n\times n$, de modo que cada celda contiene exactamente un número. Para $i=1,2,\cdots ,n^2-1$, la celda que contiene a $i$ comparte un lado común con la celda que contiene a $i+1$. En cada turno, Bred puede elegir una celda y verificar qué número está escrito. Bred quiere saber dónde está escrito el $1$ en menos de $3n$ turnos. Determine si el conjunto de valores de $n$ para los cuales Bred siempre puede lograr su objetivo es infinito. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathscrazy 116 publicaciones mathscrazy #1 h 29 de dic. de 2024, 6:32 a. m. • 3 Y Y por starchan, radian_51, mxsail Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en $\{0, 1\}$. Suponga que $a, b$ son enteros distintos de cero tales que para todo $f \in \mathcal{P}$ con $f(a)\neq 0$, se cumple que $f(a) \mid f(b)$. Demuestre que $a=b$. Propuesto por Shashank Ingalagavi y Krutarth Shah Z K Y