La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Iveela 177 publicaciones Iveela #1 h 14 de enero de 2025, 5:17 a. m. Y por Un par de enteros positivos $(x, y)$ es bueno si satisfacen $\text{rad}(x) = \text{rad}(y)$ y no se dividen entre sí. Dados enteros positivos coprimos $a$ y $b$, demuestre que existen infinitos $n$ para los cuales existe un entero positivo $m$ tal que $(a^n + bm, b^n + am)$ es bueno. (Aquí, $\text{rad}(x)$ denota el producto de los divisores primos de $x$, como es habitual). Esta publicación ha sido editada 4 veces. Última edición por Iveela, 20 de enero de 2025, 8:38 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ciobi_ 43 publicaciones Ciobi_ #1 h 15 de enero de 2025, 3:53 a. m. • 3 Y Y por alexanderhamilton124, cubres, Leman_Nabiyeva Vaysha tiene un tablero con $999$ números consecutivos escritos y $999$ etiquetas de la forma "Este número no es divisible por $i$", para $i \in \{ 2,3, \dots ,1000 \} $. Ella coloca cada etiqueta junto a un número en el tablero, de modo que cada número tenga exactamente una etiqueta. Por cada afirmación verdadera en las etiquetas, Vaysha obtiene un dulce. ¿Cuántos dulces puede garantizar Vaysha ganar, independientemente de los números escritos en el tablero, si juega de manera óptima? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Ciobi_, 15 de enero de 2025, 10:08 a. m. Motivo: Escribí mal lo que decían las etiquetas Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ciobi_ 43 publicaciones Ciobi_ #1 h 15 de enero de 2025, 4:03 a. m. • 3 Y Y por vi144, cubres, Rounak_iitr Sea $A_1C_2B_1B_2C_1A_2$ un hexágono convexo cíclico inscrito en un círculo $\Omega$ , centrado en $O$ . Sean $\{ P \} = A_2B_2 \cap A_1B_1$ y $\{ Q \} = A_2C_2 \cap A_1C_1$ . Sea $\Gamma_1$ un círculo tangente a $OB_1$ y $OC_1$ en $B_1,C_1$ respectivamente. De manera similar, defina $\Gamma_2$ como el círculo tangente a $OB_2,OC_2$ en $B_2, C_2$ respectivamente. Demuestre que existe una homotecia que envía $\Gamma_1$ a $\Gamma_2$ , cuyo centro se encuentra sobre $PQ$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ciobi_ 43 publicaciones Ciobi_ #1 h 15 de enero de 2025, 4:18 a. m. • 1 Y Y por vi144 $\indent$ Para un entero positivo $n$, sea $S_n$ el conjunto de funciones biyectivas de $\{1,2,\dots ,n\}$ en sí mismo. Para un par de enteros positivos $(a,b)$ tales que $1 \leq a <b \leq n$, y para una permutación $\sigma \in S_n$, decimos que el par $(a,b)$ es expansivo para $\sigma$ si $|\sigma (a)- \sigma(b)| \geq |a-b|$. $\indent$ (a) ¿Es cierto que para todo entero $n > 1$, existe $\sigma \in S_n$ tal que el número de pares $(a,b)$ que son expansivos para la permutación $\sigma$ es menor que $1000n\sqrt n$? $\indent$ (b) ¿Existe un entero positivo $n>1$ y una permutación $\sigma \in S_n$ tal que el número de pares $(a,b)$ que son expansivos para la permutación $\sigma$ es menor que $\frac{n\sqrt n}{1000}$? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathmanman 1444 publicaciones mathmanman #1 h 3 de mayo de 2007, 11:43 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Cada uno de los puntos $G$ y $H$, situados a distintos lados del plano del hexágono $ABCDEF$, está conectado con todos los vértices del hexágono. ¿Es posible marcar los 18 segmentos así formados con los números $1, 2, 3, \ldots, 18$ y asignar ciertos números reales a los puntos $A, B, C, D, E, F, G, H$ de modo que cada segmento esté marcado con la diferencia de los números en sus extremos? Propuesto por A. Golovanov Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. perfect_radio 2607 publicaciones perfect_radio #1 h 26 de abril de 2006, 4:50 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $a,b,c,d$ números reales positivos tales que $abcd=1$. Demuestre que \[ \frac{1+ab}{1+a} + \frac{1+bc}{1+b} + \frac{1+cd}{1+c} + \frac{1+da}{1+d} \geq 4 . \] Propuesto por A. Khrabrov Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathmanman 1444 publicaciones mathmanman #1 h 3 de mayo de 2007, 11:49 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un círculo que tiene el mismo centro que el circuncírculo del triángulo $ABC$ corta los lados del triángulo en seis puntos que forman un hexágono convexo $A_{1}A_{2}B_{1}B_{2}C_{1}C_{2}$ ($A_{1}$ y $A_{2}$ yacen sobre $BC$, $B_{1}$ y $B_{2}$ yacen sobre $AC$, $C_{1}$ y $C_{2}$ yacen sobre $AB$). Si $A_{1}B_{1}$ es paralelo a la bisectriz del ángulo $B$, demuestre que $A_{2}C_{2}$ es paralelo a la bisectriz del ángulo $C$. Propuesto por S. Berlov Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de mayo de 2019, 5:21 PM • 1 Y Y por Adventure10 Demuestre que para todo $ x, y \in [0, 1] $ se cumple la desigualdad $ 5 (x^2+ y^2) ^2 \leq 4 + (x +y) ^4$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 11 de mayo de 2019, 5:21 PM Razón: editar problema no Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de mayo de 2019, 5:28 PM • 4 Y Y por Adventure10, Mango247, Mango247, Mango247 El círculo con centro en $ O $ es tangente a los lados del ángulo $ A $ en los puntos $ K $ y $ M $ . La tangente al círculo corta a los segmentos $ AK $ y $ AM $ en los puntos $ B $ y $ C $ respectivamente, y la recta $ KM $ corta a los segmentos $ OB $ y $ OC $ en los puntos $ D $ y $ E $ . Demuestre que el área del triángulo $ ODE $ es igual a un cuarto del área del triángulo $ BOC $ si y solo si el ángulo $ A $ es $ 60^\circ $ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 25 de marzo de 2021, 1:34 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de mayo de 2019, 5:24 PM • 1 Y Y por Adventure10 En las celdas de la tabla $ 100 \times 100 $ se colocan por parejas números diferentes. Cada minuto, cada uno de los números cambia al mayor de los números en las celdas adyacentes por el lado. ¿Pueden después de $4$ horas todos los números en la tabla ser iguales? Z K Y