La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 779 publicaciones BR1F1SZ #1 h 10 de mayo de 2025, 5:15 PM Y por Sea $n \geqslant 2$ un entero. Consideramos una cuadrícula cuadrada de tamaño $2n \times 2n$ dividida en $4n^2$ cuadrados unitarios. La cuadrícula se denomina equilibrada si: Cada celda contiene un número igual a $-1$, $0$ o $1$. El valor absoluto de la suma de los números en la cuadrícula no excede $4n$. Determine, como función de $n$, el entero más pequeño $k \geqslant 1$ tal que cualquier cuadrícula equilibrada siempre contenga un cuadrado de $n \times n$ cuya suma absoluta de las $n^2$ celdas sea menor o igual a $k$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 779 publicaciones BR1F1SZ #1 h 10 de mayo de 2025, 5:20 PM Y por Sea $\triangle{ABC}$ un triángulo, $\omega$ su circunferencia circunscrita y $O$ el centro de $\omega$. Sea $P$ un punto en el segmento $BC$. Denotamos por $Q$ el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $\triangle{AOB}$ y $\triangle{APC}$. Demuestre que la recta $PQ$ y la tangente a $\omega$ en el punto $A$ se cortan sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle AOB$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 779 publicaciones BR1F1SZ #1 h 10 de mayo de 2025, 5:24 PM Y Charlotte escribe los enteros $1,2,3,\ldots,2025$ en la pizarra. Charlotte tiene dos operaciones disponibles: la operación MCD y la operación MCM. La operación MCD consiste en elegir dos enteros $a$ y $b$ escritos en la pizarra, borrarlos y escribir el entero $\operatorname{gcd}(a, b)$. La operación MCM consiste en elegir dos enteros $a$ y $b$ escritos en la pizarra, borrarlos y escribir el entero $\operatorname{lcm}(a, b)$. Un entero $N$ se denomina número ganador si existe una sucesión de operaciones tal que, al final, el único entero que queda en la pizarra es $N$. Encuentre todos los enteros ganadores entre $\{1,2,3,\ldots,2025\}$ y, para cada uno de ellos, determine el número mínimo de operaciones MCD que Charlotte debe utilizar. Nota: El número $\operatorname{gcd}(a, b)$ denota el máximo común divisor de $a$ y $b$, mientras que el número $\operatorname{lcm}(a, b)$ denota el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. freemind 337 publicaciones freemind #1 h 6 de mayo de 2008, 11:07 a. m. • 6 Y Y por H.HAFEZI2000, Adventure10, Mango247 y otros 3 usuarios. Dado un triángulo acutángulo escaleno $ ABC$ con $ AC>BC$ , sea $ F$ el pie de la altura desde $ C$ . Sea $ P$ un punto en $ AB$ , distinto de $ A$ , tal que $ AF=PF$ . Sean $ H,O,M$ el ortocentro, el circuncentro y el punto medio de $ [AC]$ , respectivamente. Sea $ X$ el punto de intersección de $ BC$ y $ HP$ . Sea $ Y$ el punto de intersección de $ OM$ y $ FX$ , y sea $ Z$ el punto de intersección de $ OF$ y $ AC$ . Demuestre que $ F,M,Y,Z$ son concíclicos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. freemind 337 publicaciones freemind #1 h 6 de mayo de 2008, 11:07 a. m. • 4 Y Y por Adventure10, Mango247 y otros 2 usuarios ¿Existe una sucesión $ a_1,a_2,\ldots$ de números reales positivos que satisfaga simultáneamente las siguientes desigualdades para todo entero positivo $ n$ : a) $ a_1+a_2+\ldots+a_n\le n^2$ b) $ \frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\ldots+\frac1{a_n}\le2008$ ? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. F_Xavier1203 18 publicaciones F_Xavier1203 #1 h 13 de ago. de 2022, 8:58 PM Y por Sea $n\ge 3$ un entero positivo. Amy escribió todos los enteros del $1$ al $n^2$ en una cuadrícula de $n\times n$, de modo que cada celda contiene exactamente un número. Para $i=1,2,\cdots ,n^2-1$, la celda que contiene a $i$ comparte un lado común con la celda que contiene a $i+1$. En cada turno, Bred puede elegir una celda y verificar qué número está escrito. Bred quiere saber dónde está escrito el $1$ en menos de $3n$ turnos. Determine si el conjunto de valores de $n$ para los cuales Bred siempre puede lograr su objetivo es infinito. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ericxyzhu 49 publicaciones ericxyzhu #1 h 3 de noviembre de 2022, 3:16 PM Y por ¿Cuántas ternas $(a,b,c)$ con $a,b,c \in \mathbb{R}$ satisfacen el siguiente sistema? $$\begin{cases} a^4-b^4=c \\ b^4-c^4=a \\ c^4-a^4=b \end{cases}$$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por ericxyzhu, 20 de julio de 2023, 4:52 PM Razón: Error tipográfico Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ericxyzhu 49 publicaciones ericxyzhu #1 h 3 de noviembre de 2022, 3:23 PM Y Anselmo y Claudio juegan alternativamente un juego con frutas en una caja. La caja tiene inicialmente $32$ frutas. Anselmo juega primero y cada turno consiste en retirar $1$, $2$ o $3$ frutas de la caja o retirar $\frac{2}{3}$ de las frutas de la caja (esto solo es posible cuando el número de frutas que quedan en la caja es un múltiplo de $3$). El jugador que retira la última fruta de la caja gana. ¿Cuál de estos dos jugadores tiene una estrategia ganadora? ¿Cómo debería jugar ese jugador para ganar? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por ericxyzhu, 3 de noviembre de 2022, 3:29 PM Razón: Error tipográfico Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ericxyzhu 49 publicaciones ericxyzhu #1 h 3 de noviembre de 2022, 3:27 PM • 1 Y Y por Kawhi2 Los enteros positivos $x$ e $y$ son tales que $x^{2022}+x+y^2$ es divisible por $xy$. a) Dé un ejemplo de tales enteros $x$ e $y$, con $x>y$. b) Demuestre que $x$ es un cuadrado perfecto. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 13 de julio de 2023, 1:39 PM • 1 Y Y por Amir Hossein Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que $f(1) \neq f(-1)$ y $$f(m+n)^2 \mid f(m)-f(n)$$ para todos los enteros $m, n$. Propuesto por Liam Baker, Sudáfrica Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por a_507_bc, 5 de octubre de 2023, 11:14 AM Z K Y