La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. vinoth_90_2004 301 publicaciones vinoth_90_2004 #1 h 3 de junio de 2004, 11:58 PM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario más. Sea $ABC$ un triángulo con semiperímetro $s$ e inradio $r$. Se dibujan semicírculos con diámetros $BC$, $CA$, $AB$ en el exterior del triángulo $ABC$. El círculo tangente a estos tres semicírculos tiene radio $t$. Demuestre que \[\frac{s}{2}<t\le\frac{s}{2}+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)r. \] Formulación alternativa. En un triángulo $ABC$, construya círculos con diámetros $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Construya un círculo $w$ tangente externamente a estos tres círculos. Sea $t$ el radio de este círculo $w$. Demuestre que: $\frac{s}{2}<t\le\frac{s}{2}+\frac12\left(2-\sqrt3\right)r$, donde $r$ es el inradio y $s$ es el semiperímetro del triángulo $ABC$. Propuesto por Dirk Laurie, Sudáfrica Adjuntos: Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. iandrei 138 publicaciones iandrei #1 h 14 de julio de 2003, 12:07 PM • 8 Y Y por ValidName, Adventure10, Mango247, Shinobu...Kocho, mxsail y otros 3 usuarios. Cada par de lados opuestos de un hexágono convexo tiene la siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos medios es igual a $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ veces la suma de sus longitudes. Demuestre que todos los ángulos del hexágono son iguales. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Night_Witch123 57 publicaciones Night_Witch123 #1 h 25 de octubre de 2019, 1:52 PM • 5 Y Y por AlastorMoody, ImSh95, Adventure10, Mango247, S_14159 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$ , cuyo incentro es $I$ . Sea $P$ un punto en el circuncírculo del triángulo $AIB$ que se encuentra dentro del triángulo $ABC$ . Las rectas que pasan por $P$ paralelas a $CA$ y $CB$ cortan a $AB$ en $D$ y $E$ , respectivamente. La recta que pasa por $P$ paralela a $AB$ corta a $CA$ y $CB$ en $F$ y $G$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $DF$ y $EG$ se cortan en el circuncírculo del triángulo $ABC$ . Propuesto por Hojoo Lee Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Night_Witch123, 25 de octubre de 2019, 1:52 PM Razón: Proponente Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 4 de octubre de 2004, 4:21 PM • 5 Y Y por Adventure10, HWenslawski, Mango247, PikaPika999, soryn Sean $\Gamma_1$ , $\Gamma_2$ , $\Gamma_3$ , $\Gamma_4$ círculos distintos tales que $\Gamma_1$ y $\Gamma_3$ son tangentes externamente en $P$ , y $\Gamma_2$ y $\Gamma_4$ son tangentes externamente en el mismo punto $P$ . Suponga que $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ ; $\Gamma_2$ y $\Gamma_3$ ; $\Gamma_3$ y $\Gamma_4$ ; $\Gamma_4$ y $\Gamma_1$ se cortan en $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , respectivamente, y que todos estos puntos son distintos de $P$ . Demuestre que \[ \frac{AB\cdot BC}{AD\cdot DC}=\frac{PB^2}{PD^2}. \] Adjuntos: Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. vinoth_90_2004 301 publicaciones vinoth_90_2004 #1 h 11 de mayo de 2004, 11:45 PM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, ehuseyinyigit Sea $ABC$ un triángulo y sea $P$ un punto en su interior. Denotemos por $D$, $E$, $F$ los pies de las perpendiculares desde $P$ a las rectas $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Suponga que \[AP^2 + PD^2 = BP^2 + PE^2 = CP^2 + PF^2.\] Denotemos por $I_A$, $I_B$, $I_C$ los excentros del triángulo $ABC$. Demuestre que $P$ es el circuncentro del triángulo $I_AI_BI_C$. Propuesto por C.R. Pranesachar, India Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por djmathman, 27 de mayo de 2018, 10:49 AM Razón: redacción ajustada de acuerdo con https://anhngq.files.wordpress.com/2010/07/imo-2003-shortlist.pdf Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. darij grinberg 6556 publicaciones darij grinberg #1 h 18 de mayo de 2004, 3:25 PM • 4 Y Y por Davi-8191, Adventure10, megarnie, Mango247 Tres puntos distintos $A$ , $B$ y $C$ están fijos en una recta en este orden. Sea $\Gamma$ un círculo que pasa por $A$ y $C$ cuyo centro no se encuentra en la recta $AC$ . Denotemos por $P$ la intersección de las tangentes a $\Gamma$ en $A$ y $C$ . Supongamos que $\Gamma$ corta al segmento $PB$ en $Q$ . Demuestre que la intersección de la bisectriz del $\angle AQC$ y la recta $AC$ no depende de la elección de $\Gamma$ . Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 4 veces. Última edición por djmathman, 27 de mayo de 2018, 10:46 AM Razón: redacción editada de acuerdo con https://anhngq.files.wordpress.com/2010/07/imo-2003-shortlist.pdf Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. iandrei 138 publicaciones iandrei #1 h 14 de julio de 2003, 12:09 PM • 15 Y Y por Davi-8191, nguyendangkhoa17112003, TurtleKing123, HWenslawski, Adventure10, centslordm, megarnie, proxima1681, Mahmood.sy, Mango247, Rounak_iitr, Shinobu...Kocho, mxsail, y otros 2 usuarios Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sean $P$ , $Q$ , $R$ los pies de las perpendiculares desde $D$ a las rectas $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente. Demuestre que $PQ=QR$ si y solo si las bisectrices de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ son concurrentes con $AC$ . Adjuntos: Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Peter 3615 publicaciones Peter #1 h 28 de sep. de 2005, 3:37 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Comenzando con dos puntos A y B, se construyen algunos círculos y puntos como se muestra en la figura: el círculo con centro A que pasa por B, el círculo con centro B que pasa por A, el círculo con centro C que pasa por A, el círculo con centro D que pasa por B, el círculo con centro E que pasa por A, el círculo con centro F que pasa por A, el círculo con centro G que pasa por A (creo que la redacción no es muy rigurosa, debería asumir las intersecciones a partir del dibujo). Demuestre que $M$ es el punto medio de $AB$. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/d/4/2352ab21cc19549f0381e88ddde9dce4299c2e.png Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Amir Hossein, 14 de ene. de 2025, 8:57 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Peter 3615 publicaciones Peter #1 h 28 de sep. de 2005, 3:24 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dos rectángulos de $5\times1$ tienen 2 vértices en común como en la imagen. (a) Determine el área de la superposición (b) Determine la longitud del segmento entre los otros 2 puntos de intersección, $A$ y $B$. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/9/0/4f1721c7ccdecdfe4d9cc05a17a553a0e9f670.png Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Amir Hossein, 14 de ene. de 2025, 9:02 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Peter 3615 publicaciones Peter #1 h 28 de sep. de 2005, 3:09 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 A través de un punto interior $O$ del $\Delta ABC$ se trazan 3 líneas, paralelas a cada uno de los lados, que se intersecan en los puntos mostrados en la imagen. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/e/3/03d4d1bb61eda8b4a72ff84466d700de47c147.png Encuentre el valor de $\frac{|AF|}{|AB|}+\frac{|BE|}{|BC|}+\frac{|CN|}{|CA|}$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Amir Hossein, 14 de ene. de 2025, 9:02 p. m. Z K Y