La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. grobber 7849 publicaciones grobber #1 h 28 de oct. de 2003, 1:00 a. m. • 3 Y Y por siavosh, Adventure10, Mango247 Una solución rápida: Sea R el pie de la perpendicular desde X a BC. Supongamos que Q y R están en el interior de los segmentos AC y BC (respectivamente) y P en el exterior de AD. P, R, Q son colineales (teorema de Simson). PQ es tangente al círculo XRD si y solo si XRQ=XDR si y solo si Pi-XCA=XDR si y solo si XBA=XDR=XDC=ADB si y solo si XBC+ABC=ADB=DAC+ACB si y solo si XAC+ABC=DAC+ACD si y solo si ABC=ACD=ACB si y solo si AB=AC. Es lo mismo para todos los demás casos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Valentin Vornicu 7301 publicaciones Valentin Vornicu #1 h 27 de oct. de 2005, 4:37 p. m. • 5 Y Y por gbroxey, Davi-8191, Adventure10, VicKmath7, Mango247 Sean $ x_1$ , $ x_2$ , $ \ldots$ , $ x_n$ números reales que satisfacen las condiciones: \[ \left\{\begin{array}{cccc} |x_1 + x_2 + \cdots + x_n | & = & 1 & \ \\ |x_i| & \leq & \displaystyle \frac {n + 1}{2} & \ \textrm{ para }i = 1, 2, \ldots , n. \end{array} \right. \] Demuestre que existe una permutación $ y_1$ , $ y_2$ , $ \ldots$ , $ y_n$ de $ x_1$ , $ x_2$ , $ \ldots$ , $ x_n$ tal que \[ | y_1 + 2 y_2 + \cdots + n y_n | \leq \frac {n + 1}{2}. \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rijul saini 964 publicaciones Rijul saini #1 h 30 de mayo de 2024, 10:34 PM • 5 Y Y por GeoKing, Rounak_iitr, D_S, ehuseyinyigit, mxsail Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo con circunferencia circunscrita $\omega$. Sea $BA$ prolongado más allá de $A$ que se interseca con $CD$ prolongado más allá de $D$, en $L$. Sea $\ell$ una recta que pasa por $L$ y que interseca a $AD$ y $BC$ en $M$ y $N$ respectivamente, de modo que $M,D$ (respectivamente $N,C$) estén en lados opuestos de $A$ (resp. $B$). Suponga que $K$ y $J$ son puntos en el arco $AB$ de $\omega$ que no contiene a $C,D$ de modo que $MK, NJ$ son tangentes a $\omega$. Demuestre que $K,J,L$ son colineales. Propuesto por Rijul Saini Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Rijul saini, 31 de mayo de 2024, 12:58 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rijul saini 964 publicaciones Rijul saini #1 h 30 de mayo de 2024, 10:33 PM • 3 Y Y por GeoKing, MathLuis, mxsail Encuentre todas las funciones $f:\mathbb R \to \mathbb R$ tales que \[ xf(xf(y)+yf(x))= x^2f(y)+yf(x)^2, \] para todos los números reales $x,y$. Propuesto por B.J. Venkatachala Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Rijul saini, 31 de mayo de 2024, 12:58 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Arne 3660 publicaciones Arne #1 h 31 de ago. de 2003, 3:29 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, EntropiaAwake ¿Existen funciones $ f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $ f(g(x)) = x^2$ y $ g(f(x)) = x^k$ para todo número real $ x$ a) si $ k = 3$ ? b) si $ k = 4$ ? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rijul saini 964 publicaciones Rijul saini #1 h 30 de mayo de 2024, 10:31 PM • 4 Y Y por GeoKing, Rounak_iitr, Aryan-23, mxsail Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$, y sean $O,H$ su circuncentro y ortocentro respectivamente. Los puntos $Z,Y$ yacen sobre los segmentos $AB,AC$ respectivamente, tales que \[\angle ZOB=\angle YOC = 90^{\circ}.\] La recta perpendicular desde $H$ a la recta $YZ$ corta a las rectas $BO$ y $CO$ en $Q$ y $R$ respectivamente. Sean las tangentes al circuncírculo del $\triangle AYZ$ en los puntos $Y$ y $Z$ que se cortan en el punto $T$. Demuestre que $Q, R, O, T$ son concíclicos. Propuesto por Kazi Aryan Amin y K.V. Sudharshan Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Rijul saini, 31 de mayo de 2024, 12:57 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. everythingpi3141592 91 publicaciones everythingpi3141592 #1 h 30 de mayo de 2024, 10:20 PM • 3 Y Y por GeoKing, Rounak_iitr, mxsail Hay $n\ge 3$ partículas en un círculo situadas en los vértices de un $n$-ágono regular. Todas estas partículas se mueven sobre el círculo con la misma velocidad constante. Una de las partículas se mueve en el sentido de las agujas del reloj, mientras que todas las demás se mueven en sentido contrario a las agujas del reloj. Cuando las partículas chocan, es decir, cuando todas están en el mismo punto, todas invierten la dirección de su movimiento y continúan con la misma velocidad que antes. Sea $s$ el número mínimo de colisiones después de las cuales todas las partículas regresan a sus posiciones originales. Encuentre $s$. Propuesto por N.V. Tejaswi Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por everythingpi3141592, 31 de mayo de 2024, 11:01 AM Razón: redacción original + crédito al autor Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Fiachra 106 publicaciones Fiachra #1 h 12 de feb. de 2005, 5:07 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo. Las diagonales $ AC$ y $ BD$ se intersecan en $ K$ . Demuestre que $ ABCD$ es cíclico si y solo si $ AK \sin A + CK \sin C = BK \sin B + DK \sin D$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rijul saini 964 publicaciones Rijul saini #1 h 30 de mayo de 2024, 10:30 PM • 4 Y Y por GeoKing, idkk, ads07, mxsail Sea $r>0$ un número real. Llamamos a un polinomio mónico con coeficientes complejos $r$-bueno si todas sus raíces tienen un valor absoluto de a lo sumo $r$. Llamamos a un polinomio mónico con coeficientes complejos primordial si todos sus coeficientes tienen un valor absoluto de a lo sumo $1$. a) Demuestre que cualquier polinomio $1$-bueno tiene un múltiplo primordial. b) Si $r>1$, demuestre que existe un polinomio $r$-bueno que no tiene un múltiplo primordial. Propuesto por Pranjal Srivastava Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Rijul saini, 31 de mayo de 2024, 12:57 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. everythingpi3141592 91 publicaciones everythingpi3141592 #1 h 30 de mayo de 2024, 10:09 PM • 3 Y Y por GeoKing, CRT_07, mxsail Un conejo dormido se encuentra en el interior de un $2024$-gono convexo. Un cazador elige tres vértices del polígono y coloca una trampa que cubre el interior y la frontera de la región triangular determinada por ellos. Determine el número mínimo de veces que necesita hacer esto para garantizar que el conejo sea atrapado. Propuesto por Anant Mudgal y Rohan Goyal Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por everythingpi3141592, 31 de mayo de 2024, 11:02 AM Razón: redacción original + acreditación del autor Z K Y