La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rijul saini 964 publicaciones Rijul saini #1 h 30 de mayo de 2024, 10:18 PM • 2 Y Y por GeoKing, mxsail Sea $n$ un entero positivo. Sea $s: \mathbb N \to \{1, \ldots, n\}$ una función tal que $n$ divide a $m-s(m)$ para todo entero positivo $m$. Sea $a_0, a_1, a_2, \ldots$ una sucesión tal que $a_0=0$ y \[a_{k}=a_{k-1}+s(k) \text{ para todo }k\ge 1.\] Encuentre todos los $n$ para los cuales esta sucesión contiene todos los residuos módulo $(n+1)^2$. Propuesto por N.V. Tejaswi Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Rijul saini, 31 de mayo de 2024, 12:53 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rijul saini 964 publicaciones Rijul saini #1 h 30 de mayo de 2024, 10:16 PM • 6 Y Y por GeoKing, L567, Rounak_iitr, Supercali, TheHimMan, mxsail Sea $P(x) \in \mathbb{Q}[x]$ un polinomio con coeficientes racionales y grado $d\ge 2$. Demuestre que no existe una sucesión infinita $a_0, a_1, \ldots$ de números racionales tal que $P(a_i)=a_{i-1}+i$ para todo $i\ge 1$. Propuesto por Pranjal Srivastava y Rohan Goyal Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Rijul saini, 31 de mayo de 2024, 12:52 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Abril 1270 publicaciones Abril #1 h 26 de octubre de 2008, 6:09 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ \mathcal{H} = A_1A_2\ldots A_n$ un $ n$-ágono convexo. Para $ i = 1, 2, \ldots, n$ , sea $ A'_{i}$ el punto simétrico a $ A_i$ con respecto al punto medio de $ A_{i - 1}A_{i + 1}$ (donde $ A_{n + 1} = A_1$ ). Decimos que el vértice $ A_i$ es bueno si $ A'_{i}$ se encuentra dentro de $ \mathcal{H}$ . Demuestre que al menos $ n - 3$ vértices de $ \mathcal{H}$ son buenos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. grobber 7849 publicaciones grobber #1 h 28 de oct. de 2003, 1:00 a. m. • 3 Y Y por siavosh, Adventure10, Mango247 Una solución rápida: Sea R el pie de la perpendicular desde X a BC. Supongamos que Q y R están en el interior de los segmentos AC y BC (respectivamente) y P en el exterior de AD. P, R, Q son colineales (teorema de Simson). PQ es tangente al círculo XRD si y solo si XRQ=XDR si y solo si Pi-XCA=XDR si y solo si XBA=XDR=XDC=ADB si y solo si XBC+ABC=ADB=DAC+ACB si y solo si XAC+ABC=DAC+ACD si y solo si ABC=ACD=ACB si y solo si AB=AC. Es lo mismo para todos los demás casos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Arne 3660 publicaciones Arne #1 h 31 de ago. de 2003, 3:29 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, EntropiaAwake ¿Existen funciones $ f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $ f(g(x)) = x^2$ y $ g(f(x)) = x^k$ para todo número real $ x$ a) si $ k = 3$ ? b) si $ k = 4$ ? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de agosto de 2008, 10:30 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para cada entero $ n \geq 2$ determine el valor mínimo que puede tomar la suma $ \sum^n_{i=0} a_i$ para números no negativos $ a_0, a_1, \ldots, a_n$ que satisfacen la condición $ a_0 = 1,$ $ a_i \leq a_{i+1} + a_{i+2}$ para $ i = 0, \ldots, n - 2.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. grobber 7849 publicaciones grobber #1 h 25 de sep. de 2004, 7:58 a. m. • 3 Y Y por nguyendangkhoa17112003, Adventure10, Mango247 Sean $ X,Y,Z$ los puntos medios de los arcos pequeños $ BC,CA,AB$ respectivamente (arcos del circuncírculo de $ ABC$ ). $ M$ es un punto arbitrario sobre $ BC$ , y las paralelas trazadas por $ M$ a las bisectrices internas de $ \angle B,\angle C$ cortan a las bisectrices externas de $ \angle C,\angle B$ en $ N,P$ respectivamente. Demuestre que $ XM,YN,ZP$ concurren. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Valentin Vornicu 7301 publicaciones Valentin Vornicu #1 h 27 de oct. de 2005, 4:37 p. m. • 5 Y Y por gbroxey, Davi-8191, Adventure10, VicKmath7, Mango247 Sean $ x_1$ , $ x_2$ , $ \ldots$ , $ x_n$ números reales que satisfacen las condiciones: \[ \left\{\begin{array}{cccc} |x_1 + x_2 + \cdots + x_n | & = & 1 & \ \\ |x_i| & \leq & \displaystyle \frac {n + 1}{2} & \ \textrm{ para }i = 1, 2, \ldots , n. \end{array} \right. \] Demuestre que existe una permutación $ y_1$ , $ y_2$ , $ \ldots$ , $ y_n$ de $ x_1$ , $ x_2$ , $ \ldots$ , $ x_n$ tal que \[ | y_1 + 2 y_2 + \cdots + n y_n | \leq \frac {n + 1}{2}. \] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. arthur 99 publicaciones arthur #1 h 5 de julio de 2004, 8:29 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $ a_1\geq \cdots \geq a_n \geq a_{n + 1} = 0$ números reales. Demuestre que \[ \sqrt {\sum_{k = 1}^n a_k} \leq \sum_{k = 1}^n \sqrt k (\sqrt {a_k} - \sqrt {a_{k + 1}}). \] Propuesto por Rumania Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de agosto de 2008, 10:24 PM • 4 Y Y por nguyendangkhoa17112003, Me.021, Adventure10, Mango247 Las alturas a través de los vértices $ A,B,C$ de un triángulo acutángulo $ ABC$ se encuentran con los lados opuestos en $ D,E, F,$ respectivamente. La recta que pasa por $ D$ paralela a $ EF$ se encuentra con las rectas $ AC$ y $ AB$ en $ Q$ y $ R,$ respectivamente. La recta $ EF$ se encuentra con $ BC$ en $ P.$ Demuestre que el circuncírculo del triángulo $ PQR$ pasa por el punto medio de $ BC.$ Z K Y