285 El lado vertical de un cuadrado se divide en $n$ segmentos. La suma de los segmentos con longitudes de números pares es igual a la suma de los segmentos con longitudes de números impares. Se trazan $n-1$ líneas paralelas a los lados horizontales desde los extremos de los segmentos y, de este modo, se obtienen $n$ franjas. Se traza la diagonal desde la esquina inferior izquierda hasta la superior derecha. Esta diagonal divide cada franja en partes izquierda y derecha. Demuestre que la suma de las áreas de las partes izquierdas de las franjas impares es igual a la suma de las áreas de las partes derechas de las franjas pares.

332 El paralelogramo $ABCD$ no es un rombo. La razón de las longitudes de las diagonales $|AC|/|BD|$ es igual a $k$. El rayo $[AM)$ es simétrico al rayo $[AD)$ con respecto a la recta $(AC)$. El rayo $[BM)$ es simétrico al rayo $[BC)$ con respecto a la recta $(BD)$. (El punto $M$ es la intersección de dichos rayos). Encuentre la razón $|AM|/|BM|$.

312 Sean $K$ y $M$ los puntos medios de los lados $AB$ y $CD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$. Los puntos $L$ y $N$ pertenecen a los otros dos lados y $KLMN$ es un rectángulo. Demuestre que el área de $KLMN$ es la mitad del área de $ABCD$.

334 Sea $M$ un punto en el interior de un tetraedro regular. Demuestre que al menos una arista del tetraedro es vista desde $M$ bajo un ángulo cuyo coseno no es mayor que $-1/3$. (por ejemplo, si $A$ y $B$ son los vértices correspondientes a dicha arista, $\cos(\widehat{AMB}) \le -1/3$)

293 Dados $1980$ vectores en el plano, entre los cuales hay algunos no colineales. La suma de cada $1979$ vectores es colineal al vector no incluido en dicha suma. Demuestre que la suma de todos los vectores es igual al vector nulo.

314 ¿Es posible llenar una tabla rectangular con cuadrados blancos y negros (únicamente) de tal manera que el número de cuadrados negros sea igual al número de cuadrados blancos, y cada fila y cada columna tenga más del $75\%$ de cuadrados del mismo color?

296 Una epidemia de gripe estalló en la ciudad de los elfos. El primer día, algunos de ellos fueron infectados por la fuente externa de infección y nadie más fue infectado por la fuente externa posteriormente. Un elfo se infecta al visitar a su amigo enfermo. A pesar de la situación, cada elfo sano visita a todos sus amigos enfermos cada día. El elfo está enfermo exactamente un día y tiene inmunidad al menos el día siguiente. No hay vacunas en la ciudad. Demuestre que: a) Si hubo algunos elfos inmunizados por la fuente externa el primer día, la epidemia de gripe puede continuar durante un tiempo arbitrariamente largo. b) Si nadie tenía inmunidad el primer día, la epidemia de gripe se detendrá algún día.

183 $N$ hombres no se conocen entre sí. Usted debe presentar a algunos de ellos con otros de tal manera que no existan tres hombres con el mismo número de conocidos. Demuestre que esto es posible para todo $N$.

335 Tres números $a,b,c$ pertenecen al intervalo $[0,\pi /2]$ con $$\cos a = a, \sin(\cos b) = b, \cos(\sin c ) = c$$ Ordene dichos números en orden creciente.

159 Dado un rectángulo $ABCD$, sean $M$ el punto medio del lado $[AD]$ y $N$ el punto medio del lado $[BC]$. Sea $P$ un punto en la prolongación del segmento $[DC]$ más allá del punto $D$. Denotemos el punto de intersección de las rectas $(PM)$ y $(AC)$ como $Q$. Demuestre que $\angle QNM= \angle MNP$.