366 Sea un punto $O$ dentro del triángulo $ABC$. Demuestre que $$S_A * \overrightarrow{OA} + S_B * \overrightarrow{OB} + S_C * \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$ donde $S_A, S_B, S_C$ denotan las áreas de los triángulos $BOC, COA, AOB$ respectivamente.

295 Algunos cuadrados de una hoja infinita de papel cuadriculado son rojos. Cada rectángulo de $2\times 3$ (de $6$ cuadrados) contiene exactamente dos cuadrados rojos. ¿Cuántos cuadrados rojos puede haber en un rectángulo de $9\times 11$ de $99$ cuadrados?

297 Sea $P(n)$ el producto de todos los dígitos de $n$. Considere la sucesión $$n_{k+1} = n_k + P(n_k)$$ ¿Puede ser no acotada para algún $n_1$?

289 Dado un punto $E$ en el diámetro $AC$ de cierto círculo. Trace una cuerda $BD$ para maximizar el área del cuadrilátero $ABCD$.

285 El lado vertical de un cuadrado se divide en $n$ segmentos. La suma de los segmentos con longitudes de números pares es igual a la suma de los segmentos con longitudes de números impares. Se trazan $n-1$ líneas paralelas a los lados horizontales desde los extremos de los segmentos y, de este modo, se obtienen $n$ franjas. Se traza la diagonal desde la esquina inferior izquierda hasta la superior derecha. Esta diagonal divide cada franja en partes izquierda y derecha. Demuestre que la suma de las áreas de las partes izquierdas de las franjas impares es igual a la suma de las áreas de las partes derechas de las franjas pares.

341 Demuestre que la siguiente desigualdad es válida para $x$ positivo: $$2^{x^{1/12}}+ 2^{x^{1/4}} \ge 2^{1 + x^{1/6} }$$

339 Se ha dibujado una parábola $y = x^2$ en el plano cartesiano. Los ejes han sido borrados. ¿Puede usted restaurarlos con la ayuda de regla y compás?

336 La línea quebrada cerrada $M$ tiene un número impar de vértices $A_1, A_2, ..., A_{2n+1}$ en secuencia. Denotemos con $S(M)$ una nueva línea quebrada cerrada con vértices $B_1, B_2, ..., B_{2n+1}$, los cuales son los puntos medios de los segmentos de la primera línea: $B_1$ es el punto medio de $[A_1A_2], ..., B_{2n+1}$ es el punto medio de $[A_{2n+1}A_1]$. Demuestre que en la sucesión $M_1=S(M), ..., M_k = S(M_{k-1}), ...$ existe una línea quebrada homotética a $M$.

162 a) Sean $a,n,m$ números naturales, $a > 1$. Demuestre que si $(a^m + 1)$ es divisible por $(a^n + 1)$, entonces $m$ es divisible por $n$. b) Sean $a,b,n,m$ números naturales, $a>1$, $a$ y $b$ son primos entre sí. Demuestre que si $(a^m+b^m)$ es divisible por $(a^n+b^n)$, entonces $m$ es divisible por $n$.

309 Tres triángulos equiláteros $ABC, CDE, EHK$ (los vértices se mencionan en sentido antihorario) se encuentran en el plano de tal manera que los vectores $\overrightarrow{AD}$ y $\overrightarrow{DK}$ son iguales. Demuestre que el triángulo $BHD$ también es equilátero.