159 Dado un rectángulo $ABCD$, sean $M$ el punto medio del lado $[AD]$ y $N$ el punto medio del lado $[BC]$. Sea $P$ un punto en la prolongación del segmento $[DC]$ más allá del punto $D$. Denotemos el punto de intersección de las rectas $(PM)$ y $(AC)$ como $Q$. Demuestre que $\angle QNM= \angle MNP$.

294 Sea $S(n)$ la suma de todos los dígitos de $n$. a) ¿Existe algún $n$ tal que $n+S(n)=1980$? b) Demuestre que al menos uno de dos números naturales sucesivos arbitrarios es representable como $n + S(n)$ para algún tercer número $n$.

365 Un lado del rectángulo mide $1$ cm. Se sabe que el rectángulo puede ser dividido por dos líneas ortogonales en cuatro rectángulos, y cada uno de los rectángulos más pequeños tiene un área no menor a $1$ centímetro cuadrado, y uno de ellos no es menor a $2$ centímetros cuadrados. ¿Cuál es la menor longitud posible del otro lado del rectángulo grande?

162 a) Sean $a,n,m$ números naturales, $a > 1$. Demuestre que si $(a^m + 1)$ es divisible por $(a^n + 1)$, entonces $m$ es divisible por $n$. b) Sean $a,b,n,m$ números naturales, $a>1$, $a$ y $b$ son primos entre sí. Demuestre que si $(a^m+b^m)$ es divisible por $(a^n+b^n)$, entonces $m$ es divisible por $n$.

313 Encuentre todas las sucesiones de naturales $k_n$ con dos propiedades: a) $k_n \le n \sqrt {n}$ para todo $n$ b) $(k_n - k_m)$ es divisible por $(m-n)$ para todo $m>n$

366 Sea un punto $O$ dentro del triángulo $ABC$. Demuestre que $$S_A * \overrightarrow{OA} + S_B * \overrightarrow{OB} + S_C * \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$ donde $S_A, S_B, S_C$ denotan las áreas de los triángulos $BOC, COA, AOB$ respectivamente.

295 Algunos cuadrados de una hoja infinita de papel cuadriculado son rojos. Cada rectángulo de $2\times 3$ (de $6$ cuadrados) contiene exactamente dos cuadrados rojos. ¿Cuántos cuadrados rojos puede haber en un rectángulo de $9\times 11$ de $99$ cuadrados?

286 La carga para la estación espacial "Salute" está empacada en contenedores. Hay más de $35$ contenedores y el peso total es de $18$ toneladas métricas. Hay $7$ naves de transporte de ida "Progress", cada una capaz de llevar $3$ toneladas métricas a la estación. Se sabe que son capaces de llevar un subconjunto arbitrario de $35$ contenedores. Demuestre que son capaces de llevar toda la carga.

289 Dado un punto $E$ en el diámetro $AC$ de cierto círculo. Trace una cuerda $BD$ para maximizar el área del cuadrilátero $ABCD$.

188 Dados $4$ puntos en el espacio tridimensional, que no yacen en un mismo plano. ¿Cuál es el número de paralelepípedos tales que cada punto sea un vértice de cada paralelepípedo?