La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. dr_Civot 354 publicaciones dr_Civot #1 h 3 de marzo de 2013, 2:13 AM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, Rounak_iitr Se coloca una ficha en cada vértice de un $2n$-gono regular. Un movimiento consiste en elegir una arista del $2n$-gono e intercambiar las dos fichas colocadas en los extremos de dicha arista. Después de realizar un número finito de movimientos, resulta que cada par de fichas ha sido intercambiado exactamente una vez. Demuestre que alguna arista nunca ha sido elegida. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mavropnevma 15142 publicaciones mavropnevma #1 h 26 de feb. de 2011, 11:21 a. m. • 8 Y Y por FlakeLCR, AdithyaBhaskar, anantmudgal09, opptoinfinity, Mathcollege, Adventure10, Mango247 y otro usuario más. Las celdas de una cuadrícula de $2011 \times 2011$ están etiquetadas con los enteros $1,2,\ldots, 2011^2$, de tal manera que cada etiqueta se utiliza exactamente una vez. Luego identificamos los bordes izquierdo y derecho, y después los bordes superior e inferior, de la manera habitual para formar un toro (la superficie de una rosquilla). Determine el mayor entero positivo $M$ tal que, sin importar qué etiquetado elijamos, existan dos celdas vecinas cuya diferencia de etiquetas sea al menos $M$. (Las celdas con coordenadas $(x,y)$ y $(x',y')$ se consideran vecinas si $x=x'$ y $y-y'\equiv\pm1\pmod{2011}$, o si $y=y'$ y $x-x'\equiv\pm1\pmod{2011}$.) (Rumania) Dan Schwarz Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 3 de septiembre de 2018, 4:46 PM • 1 Y Y por Adventure10 Consideramos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos círculos que se cortan en los puntos $P$ y $Q$. Sean $A$, $B$ y $C$ puntos en el círculo $\Gamma_1$ y $D$, $E$ y $F$ puntos en el círculo $\Gamma_2$ tales que las rectas $A E$ y $B D$ se cortan en $P$ y las rectas $A F$ y $C D$ se cortan en $Q$. Denotemos $M$ y $N$ como las intersecciones de las rectas $A B$ y $D E$ y de las rectas $A C$ y $D F$, respectivamente. Demuestre que $A M D N$ es un paralelogramo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 3 de sep. de 2018, 5:27 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Una forma es la unión de rectángulos cuadrados cuyas bases son segmentos unitarios consecutivos en una línea horizontal que deja todos los rectángulos en el mismo lado, y cuyas alturas $m_1, ... , m_n$ satisfacen $m_1\ge ... \ge m_n$ . Un ángulo en una forma consiste en una casilla $v$ y todas las casillas a la derecha de $v$ y todas las casillas encima de $v$ . El tamaño de la forma de un ángulo es el número de casillas que contiene. Encuentre el número máximo de ángulos de tamaño $11$ en una forma de tamaño $400$ . fuente Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 19 de sep. de 2022, 5:47 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 918 publicaciones mathisreal #1 h 22 de ago. de 2017, 5:15 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, WindTheorist Sea $d(n)$ la suma de los divisores enteros positivos del número $n$ y $\phi(n)$ la cantidad de enteros en el intervalo $[0,n]$ tales que estos enteros son coprimos con $n$. Por ejemplo, $d(6)=12$ y $\phi(7)=6$. Determine si el conjunto de los enteros $n$ tales que $d(n)\cdot \phi (n)$ es un cuadrado perfecto, es un conjunto finito o infinito. Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por mathisreal, 4 de sep. de 2021, 10:27 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. microsoft_office_word 65 publicaciones microsoft_office_word #1 h 9 de mayo de 2018, 8:24 a. m. • 10 Y Y por estoyanovvd, Amir Hossein, Mathuzb, Pluto04, HWenslawski, Adventure10, Mango247, KhaiMathAddict, ItsBesi, cubres Un cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo $k$ donde $AB$ $>$ $CD$ , y $AB$ no es paralelo a $CD$ . El punto $M$ es la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ , y la perpendicular desde $M$ a $AB$ corta al segmento $AB$ en un punto $E$ . Si $EM$ biseca el ángulo $CED$ , demuestre que $AB$ es diámetro de $k$ . Propuesto por Emil Stoyanov, Bulgaria Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por microsoft_office_word, 9 de mayo de 2018, 2:02 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Hamel 392 publicaciones Hamel #1 h 9 de mayo de 2018, 9:00 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, BreathTakingMeans Sea $q$ un número racional positivo. Dos hormigas se encuentran inicialmente en el mismo punto $X$ en el plano. En el minuto $n$ ($n = 1, 2, ...$), cada una de ellas elige si caminar hacia el norte, este, sur u oeste y luego recorre una distancia de $q^n$ metros. Después de un número entero de minutos, se encuentran en el mismo punto en el plano (no necesariamente $X$), pero no han seguido exactamente la misma ruta durante ese tiempo. Determine todos los valores posibles de $q$. Propuesto por Jeremy King, Reino Unido Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Hamel, 11 de mayo de 2018, 7:11 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Hamel 392 publicaciones Hamel #1 h 9 de mayo de 2018, 8:47 a. m. • 3 Y Y por itslumi, Adventure10, Mango247 Alice y Bob juegan al siguiente juego: Comienzan con pilas de monedas no vacías. Por turnos, comenzando Alice, cada jugador elige una pila con un número par de monedas y mueve la mitad de las monedas de esta pila a la otra pila. El juego termina si un jugador no puede realizar un movimiento, en cuyo caso el otro jugador gana. Determine todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos tales que, si inicialmente las dos pilas tienen $a$ y $b$ monedas respectivamente, entonces Bob tiene una estrategia ganadora. Propuesto por Dimitris Christophides, Chipre Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Hamel, 13 de mayo de 2018, 12:37 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 13 de octubre de 2017, 12:56 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dos círculos $C_1$ y $C_2$ se cortan en los puntos $A$ y $B$. Un círculo $C$ con centro en $A$ corta a $C_1$ en $M$ y $P$, y a $C_2$ en $N$ y $Q$, de tal manera que $N$ y $Q$ se encuentran en lados opuestos con respecto a $MP$ y $AB > AM$. Demuestre que $\angle MBQ = \angle NBP$. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 11 de diciembre de 2022, 12:55 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 13 de octubre de 2017, 12:33 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo inscrito en un círculo $C$. Los círculos $C_1, C_2, C_3$ son tangentes internamente al círculo $C$ en $A_1, B_1, C_1$ y tangentes a los lados $[BC], [CA], [AB]$ en los puntos $A_2, B_2, C_2$ respectivamente, de modo que $A, A_1$ están en un mismo lado de $BC$ y así sucesivamente. Las rectas $A_1A_2, B_1B_2$ y $C_1C_2$ intersecan al círculo $C$ por segunda vez en los puntos $A’, B’$ y $C’$, respectivamente. Si $M = BB’ \cap CC’$, demuestre que $m (\angle MAA’) = 90^\circ$. Z K Y