162 a) Sean $a,n,m$ números naturales, $a > 1$. Demuestre que si $(a^m + 1)$ es divisible por $(a^n + 1)$, entonces $m$ es divisible por $n$. b) Sean $a,b,n,m$ números naturales, $a>1$, $a$ y $b$ son primos entre sí. Demuestre que si $(a^m+b^m)$ es divisible por $(a^n+b^n)$, entonces $m$ es divisible por $n$.

341 Demuestre que la siguiente desigualdad es válida para $x$ positivo: $$2^{x^{1/12}}+ 2^{x^{1/4}} \ge 2^{1 + x^{1/6} }$$

344 Dada una sucesión de números reales $a_1, a_2, ... , a_n$. Demuestre que es posible elegir algunos de los números cumpliendo 3 condiciones: a) no se elige ningún triplete de miembros sucesivos, b) al menos uno de cada triplete de miembros sucesivos es elegido, c) el valor absoluto de la suma de los números elegidos no es menor que la sexta parte de la suma de los valores absolutos de los números iniciales.

295 Algunos cuadrados de una hoja infinita de papel cuadriculado son rojos. Cada rectángulo de $2\times 3$ (de $6$ cuadrados) contiene exactamente dos cuadrados rojos. ¿Cuántos cuadrados rojos puede haber en un rectángulo de $9\times 11$ de $99$ cuadrados?

332 El paralelogramo $ABCD$ no es un rombo. La razón de las longitudes de las diagonales $|AC|/|BD|$ es igual a $k$. El rayo $[AM)$ es simétrico al rayo $[AD)$ con respecto a la recta $(AC)$. El rayo $[BM)$ es simétrico al rayo $[BC)$ con respecto a la recta $(BD)$. (El punto $M$ es la intersección de dichos rayos). Encuentre la razón $|AM|/|BM|$.

342 ¿Cuál es el número mínimo de números que deben eliminarse del conjunto $\{1,2,...,1982\}$ para que se cumpla la propiedad: ninguno de los números restantes es igual al producto de otros dos números restantes?

347 ¿Puede encontrar tres polinomios $P,Q,R$ de tres variables $x,y,z$, que satisfagan la condición: a ) $P(x-y+z)^3 + Q(y-z-1)^3 +R(z-2x+1)^3 = 1$ b ) $P(x-y+z)^3 + Q(y-z-1)^3 +R(z-x+1)^3 = 1$ para todo $x,y,z$?

340 Una tabla cuadrada $n\times n$ está llena de enteros. Si los campos tienen un lado común, la diferencia de los números en ellos no excede $1$. Demuestre que algún número aparece: a) no menos de $[n/2]$ veces ($[...]$ denota la parte entera), b) no menos de $n$ veces.

336 La línea quebrada cerrada $M$ tiene un número impar de vértices $A_1, A_2, ..., A_{2n+1}$ en secuencia. Denotemos con $S(M)$ una nueva línea quebrada cerrada con vértices $B_1, B_2, ..., B_{2n+1}$, los cuales son los puntos medios de los segmentos de la primera línea: $B_1$ es el punto medio de $[A_1A_2], ..., B_{2n+1}$ es el punto medio de $[A_{2n+1}A_1]$. Demuestre que en la sucesión $M_1=S(M), ..., M_k = S(M_{k-1}), ...$ existe una línea quebrada homotética a $M$.

318 Los puntos $C_1, A_1, B_1$ pertenecen a los lados $[AB], [BC], [CA]$, respectivamente, del triángulo $ABC$. $$\frac{|AC_1|}{|C_1B| }=\frac{ |BA_1|}{|A_1C| }= \frac{|CB_1|}{|B_1A| }= \frac{1}{3}$$ Demuestre que el perímetro $P$ del triángulo $ABC$ y el perímetro $p$ del triángulo $A_1B_1C_1$ satisfacen la desigualdad $$\frac{P}{2} < p < \frac{3P}{4}$$