162 a) Sean $a,n,m$ números naturales, $a > 1$. Demuestre que si $(a^m + 1)$ es divisible por $(a^n + 1)$, entonces $m$ es divisible por $n$. b) Sean $a,b,n,m$ números naturales, $a>1$, $a$ y $b$ son primos entre sí. Demuestre que si $(a^m+b^m)$ es divisible por $(a^n+b^n)$, entonces $m$ es divisible por $n$.

289 Dado un punto $E$ en el diámetro $AC$ de cierto círculo. Trace una cuerda $BD$ para maximizar el área del cuadrilátero $ABCD$.

342 ¿Cuál es el número mínimo de números que deben eliminarse del conjunto $\{1,2,...,1982\}$ para que se cumpla la propiedad: ninguno de los números restantes es igual al producto de otros dos números restantes?

295 Algunos cuadrados de una hoja infinita de papel cuadriculado son rojos. Cada rectángulo de $2\times 3$ (de $6$ cuadrados) contiene exactamente dos cuadrados rojos. ¿Cuántos cuadrados rojos puede haber en un rectángulo de $9\times 11$ de $99$ cuadrados?

336 La línea quebrada cerrada $M$ tiene un número impar de vértices $A_1, A_2, ..., A_{2n+1}$ en secuencia. Denotemos con $S(M)$ una nueva línea quebrada cerrada con vértices $B_1, B_2, ..., B_{2n+1}$, los cuales son los puntos medios de los segmentos de la primera línea: $B_1$ es el punto medio de $[A_1A_2], ..., B_{2n+1}$ es el punto medio de $[A_{2n+1}A_1]$. Demuestre que en la sucesión $M_1=S(M), ..., M_k = S(M_{k-1}), ...$ existe una línea quebrada homotética a $M$.

321 Se escribe un número en cada vértice de un cubo. Está permitido sumar uno a dos números escritos en los extremos de una arista. ¿Es posible obtener el cubo con todos los números iguales si los números estaban inicialmente como en las imágenes:

317 Dieciocho equipos de fútbol han jugado $8$ rondas de un torneo de todos contra todos. Demuestre que existe una terna de equipos que aún no se han enfrentado entre sí.

149 Demuestre que si los números $p_1, p_2, q_1, q_2$ satisfacen la condición $$(q_1 - q_2)^2 + (p_1 - p_2)(p_1q_2 -p_2q_1)<0$$ entonces los polinomios cuadráticos $x^2 + p_1x + q_1$ y $x^2 + p_2x + q_2$ tienen raíces reales, y entre las raíces de cada uno hay una raíz del otro.

173 Un torneo de hockey de una sola ronda ha finalizado (cada equipo juega contra cada uno de los demás una vez; el ganador obtiene $2$ puntos, el perdedor $0$ y $1$ punto por empate). Para cualquier subgrupo de equipos, existe un equipo (que puede pertenecer a dicho subgrupo) que ha obtenido un número impar de puntos en los partidos contra los equipos del subgrupo. Demuestre que el número de participantes era par.

172 Sean $x_1, x_2, ... , x_n$ números positivos cuya suma es $1$. Sea $s$ el mayor de los números $$\left\{\frac{x_1}{1+x_1}, \frac{x_2}{1+x_1+x_2}, ..., \frac{x_n}{1+x_1+...+x_n}\right\}$$ ¿Cuál es el valor mínimo posible de $s$? ¿Qué valores de $x_i$ le corresponden?