La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 13 de octubre de 2017, 2:04 PM • 1 Y Y por Adventure10 Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con $AB=AD=BC, AB//CD, AB>CD$ . Sea $E= AC \cap BD$ y $N$ el simétrico de $B$ con respecto a $AC$ . Demuestre que el cuadrilátero $ANDE$ es cíclico. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Valentin Vornicu 7301 publicaciones Valentin Vornicu #1 h 29 de octubre de 2005, 6:18 PM • 2 Y Y por Adventure10, mathematicsy Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo $k$. Se da que la tangente desde $A$ al círculo se encuentra con la recta $BC$ en el punto $P$. Sea $M$ el punto medio del segmento de recta $AP$ y $R$ el segundo punto de intersección del círculo $k$ con la recta $BM$. La recta $PR$ se encuentra nuevamente con el círculo $k$ en el punto $S$ distinto de $R$. Demuestre que las rectas $AP$ y $CS$ son paralelas. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de octubre de 2022, 12:55 PM Y por Para cada entero positivo fijo $n$, $n\geq 4$ y $P$ un entero, sea $(P)_n \in [1, n]$ el residuo positivo más pequeño de $P$ módulo $n$. Dos sucesiones $a_1, a_2, \dots, a_k$ y $b_1, b_2, \dots, b_k$ con los términos en $[1, n]$ se definen como equivalentes si existe un entero positivo $t$, $\text{mcd}(t,n)=1$, tal que la sucesión $(ta_1)_n, \dots, (ta_k)_n$ es una permutación de $b_1, b_2, \dots, b_k$. Sea $\alpha$ una sucesión de tamaño $n$ cuyos términos están en $[1, n]$, tal que cada término aparece $h$ veces en la sucesión $\alpha$ y $2h\geq n$. Demuestre que $\alpha$ es equivalente a alguna sucesión $\beta$ que contiene una subsucesión tal que su tamaño es (como máximo) igual a $h$ y su suma es exactamente igual a $n$. Z K Y

Sea $ABC$ un triángulo e $I$ su incentro, sea $P$ un punto en $AC$ tal que $PI$ es perpendicular a $AC$, y sea $D$ la reflexión de $B$ con respecto al circuncentro del $\triangle ABC$. La recta $DI$ corta nuevamente al circuncircunferencia del $\triangle ABC$ en el punto $Q$. Demuestre que $QP$ es la bisectriz del ángulo $\angle AQC$.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de octubre de 2022, 12:54 PM Y por ¿Existe un número $n$ tal que se pueda escribir $n$ como la suma de $2017$ cuadrados perfectos y (de al menos) $2017$ formas distintas? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bluecarneal 9298 publicaciones bluecarneal #1 h 13 de sep. de 2011, 8:50 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $n$ un entero positivo. Calcule la suma $\sum_{k=1}^n\ \ {\sum_{1\le i_1 < \ldots < i_k\le n}^{}{\frac {2^k}{(i_1 + 1)(i_2 + 1)\ldots (i_k + 1)}}}$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bluecarneal 9298 publicaciones bluecarneal #1 h 13 de sep. de 2011, 8:53 a. m. • 4 Y Y por Adventure10, Mango247 y otros 2 usuarios Determine si existen dos sucesiones infinitas de puntos $ A_1,A_2,\ldots$ y $ B_1,B_2,\ldots$ en el plano, tales que para todo $i,j,k$ con $ 1\le i < j < k$ , (i) $ B_k$ está en la recta que pasa por $ A_i$ y $ A_j$ si y solo si $ k=i+j$ . (ii) $ A_k$ está en la recta que pasa por $ B_i$ y $ B_j$ si y solo si $ k=i+j$ . (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 3:25 p. m. • 5 Y Y por Davi-8191, HWenslawski, donotoven, Adventure10, Mango247 Sea $ ABCDEF$ un hexágono convexo con $ AB = BC = CD$ y $ DE = EF = FA$ , tal que $ \angle BCD = \angle EFA = \frac {\pi}{3}$ . Suponga que $ G$ y $ H$ son puntos en el interior del hexágono tales que $ \angle AGB = \angle DHE = \frac {2\pi}{3}$ . Demuestre que $ AG + GB + GH + DH + HE \geq CF$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 10 de ago. de 2008, 11:06 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 3:19 p. m. • 4 Y Y por Davi-8191, ELMOliveslong, Adventure10, Mango247 Encuentre el valor máximo de $ x_{0}$ para el cual existe una sucesión $ x_{0},x_{1}\cdots ,x_{1995}$ de números reales positivos con $ x_{0} = x_{1995}$ , tal que \[ x_{i - 1} + \frac {2}{x_{i - 1}} = 2x_{i} + \frac {1}{x_{i}}, \] para todo $ i = 1,\cdots ,1995$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 10 de ago. de 2008, 11:04 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 3:19 p. m. • 4 Y Y por Adventure10, Mango247 y otros 2 usuarios Determine todos los enteros $ n > 3$ para los cuales existen $ n$ puntos $ A_{1},\cdots ,A_{n}$ en el plano, sin tres de ellos colineales, y números reales $ r_{1},\cdots ,r_{n}$ tales que para $ 1\leq i < j < k\leq n$ , el área del $ \triangle A_{i}A_{j}A_{k}$ es $ r_{i} + r_{j} + r_{k}$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 10 de ago. de 2008, 10:57 a. m. Z K Y