La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Valentin Vornicu 7301 publicaciones Valentin Vornicu #1 h 29 de octubre de 2005, 6:18 PM • 2 Y Y por Adventure10, mathematicsy Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo $k$. Se da que la tangente desde $A$ al círculo se encuentra con la recta $BC$ en el punto $P$. Sea $M$ el punto medio del segmento de recta $AP$ y $R$ el segundo punto de intersección del círculo $k$ con la recta $BM$. La recta $PR$ se encuentra nuevamente con el círculo $k$ en el punto $S$ distinto de $R$. Demuestre que las rectas $AP$ y $CS$ son paralelas. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 13 de octubre de 2017, 2:04 PM • 1 Y Y por Adventure10 Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con $AB=AD=BC, AB//CD, AB>CD$ . Sea $E= AC \cap BD$ y $N$ el simétrico de $B$ con respecto a $AC$ . Demuestre que el cuadrilátero $ANDE$ es cíclico. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 24 de mar. de 2006, 2:50 p. m. • 2 Y Y por Adventure10 y otro usuario. Sean $A,B$ dos puntos distintos en un círculo dado $O$ y sea $P$ el punto medio del segmento de recta $AB$. Sea $O_1$ el círculo tangente a la recta $AB$ en $P$ y tangente al círculo $O$. Sea $l$ la recta tangente, distinta de la recta $AB$, al círculo $O_1$ que pasa por $A$. Sea $C$ el punto de intersección, distinto de $A$, de $l$ y $O$. Sea $Q$ el punto medio del segmento de recta $BC$ y sea $O_2$ el círculo tangente a la recta $BC$ en $Q$ y tangente al segmento de recta $AC$. Demuestre que el círculo $O_2$ es tangente al círculo $O$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ZETA_in_olympiad 2211 publicaciones ZETA_in_olympiad #1 h 11 de abril de 2022, 11:50 a. m. Y por En el $\triangle ABC, \angle BAC$ es un ángulo recto. $BP$ y $CQ$ son bisectrices de $\angle B$ y $\angle C$ respectivamente, las cuales cortan a $AC$ y $AB$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Se trazan dos segmentos perpendiculares $PM$ y $QN$ sobre $BC$ desde $P$ y $Q$ respectivamente. Encuentre el valor de $\angle MAN$ con su demostración. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ZETA_in_olympiad 2211 publicaciones ZETA_in_olympiad #1 h 11 de abril de 2022, 10:10 PM Y por Demuestre que si los números $3,4,5, \dots ,3^5$ se particionan en dos conjuntos disjuntos, entonces en uno de los conjuntos se pueden encontrar los números $a,b,c$ tales que $ab=c.$ ($a,b,c$ no tienen por qué ser distintos entre sí) Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. delegat 656 publicaciones delegat #1 h 11 de julio de 2010, 5:19 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dados los números reales positivos $a_{1},a_{2},\dots,a_{n},$ tales que $n>2$ y $a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}=1,$ demuestre que la desigualdad \[ \frac{a_{2}\cdot a_{3}\cdot\dots\cdot a_{n}}{a_{1}+n-2}+\frac{a_{1}\cdot a_{3}\cdot\dots\cdot a_{n}}{a_{2}+n-2}+\dots+\frac{a_{1}\cdot a_{2}\cdot\dots\cdot a_{n-1}}{a_{n}+n-2}\leq\frac{1}{\left(n-1\right)^{2}}\] se cumple. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por delegat, 12 de julio de 2010, 5:22 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. delegat 656 publicaciones delegat #1 h 12 de julio de 2010, 5:34 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $A'\in(BC),$ $B'\in(CA),C'\in(AB)$ los puntos de tangencia de los círculos exinscritos del triángulo $\triangle ABC$ con los lados de $\triangle ABC.$ Sea $R'$ el circunradio del triángulo $\triangle A'B'C'.$ Demuestre que \[ R'=\frac{1}{2r}\sqrt{2R\left(2R-h_{a}\right)\left(2R-h_{b}\right)\left(2R-h_{c}\right)}\] donde, como es habitual, $R$ es el circunradio de $\triangle ABC,$ $r$ es el inradio de $\triangle ABC,$ y $h_{a},h_{b},h_{c}$ son las longitudes de las alturas de $\triangle ABC.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. delegat 656 publicaciones delegat #1 h 12 de julio de 2010, 5:26 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $p$ un entero positivo, $p>1.$ Encuentre el número de matrices de $m\times n$ con entradas en el conjunto $\left\{ 1,2,\dots,p\right\} $ y tales que la suma de los elementos en cada fila y cada columna no sea divisible por $p.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. carefully 258 publicaciones carefully #1 h 5 de julio de 2023, 1:10 PM • 1 Y Y por Johnson100 Sea $n \geq 5$ un entero. Considere $n$ cuadrados con longitudes de lado $1, 2, \dots , n$, respectivamente. Los cuadrados están dispuestos en el plano con sus lados paralelos a los ejes $x$ e $y$. Suponga que no hay dos cuadrados que se toquen, excepto posiblemente en sus vértices. Demuestre que es posible organizar estos cuadrados de tal manera que cada cuadrado toque exactamente a otros dos cuadrados. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por carefully, 5 de julio de 2023, 1:11 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. somebodyyouusedtoknow 262 publicaciones somebodyyouusedtoknow #1 h 5 de julio de 2023, 1:19 PM • 2 Y Y por Johnson100, Rounak_iitr Encuentre todos los enteros $n$ que satisfacen $n \geq 2$ y $\dfrac{\sigma(n)}{p(n)-1} = n$, donde $\sigma(n)$ denota la suma de todos los divisores positivos de $n$, y $p(n)$ denota el mayor divisor primo de $n$. Z K Y