148 Los volúmenes de agua contenidos en cada uno de tres recipientes suficientemente grandes son enteros. Solo se le permite trasladar algunas veces de un recipiente a otro el mismo volumen de agua que el recipiente de destino ya contiene. Demuestre que es posible vaciar uno de los recipientes.

311 Se sabe acerca de los números reales $a$ y $b$ que la desigualdad $$a \cos x + b \cos (3x) > 1$$ no tiene soluciones reales. Demuestre que $|b|\le 1$.

171 ¿Es posible colocar los números $0, 1$ o $2$ en los cuadrados unitarios de una cuadrícula de $100\times 100$ de tal manera que cada rectángulo de $3\times 4$ (y $4\times 3$) contenga tres ceros, cuatro unos y cinco doses?

204 Sea un triángulo $ABC$ con área $1$. Sean $A', B'$ y $C'$ los puntos medios de los lados $[BC], [CA]$ y $[AB]$ respectivamente. ¿Cuál es el área mínima posible de la parte común de los dos triángulos $A'B'C'$ y $KLM$, si los puntos $K, L$ y $M$ se encuentran sobre los segmentos $[AB'], [CA']$ y $[BC']$ respectivamente?

332 El paralelogramo $ABCD$ no es un rombo. La razón de las longitudes de las diagonales $|AC|/|BD|$ es igual a $k$. El rayo $[AM)$ es simétrico al rayo $[AD)$ con respecto a la recta $(AC)$. El rayo $[BM)$ es simétrico al rayo $[BC)$ con respecto a la recta $(BD)$. (El punto $M$ es la intersección de dichos rayos). Encuentre la razón $|AM|/|BM|$.

179 La federación de tenis ha asignado números a $1024$ deportistas que participan en el torneo, de acuerdo con su habilidad. (La federación de tenis utiliza el sistema olímpico de torneos. El perdedor de cada pareja queda eliminado, y el ganador se enfrenta al ganador de otra pareja. De este modo, en la segunda ronda quedan $512$ participantes, en la tercera $256$, etc. El ganador se determina después de la décima ronda). Resulta que, en los enfrentamientos entre deportistas cuyos números difieren en más de $2$, siempre gana aquel cuyo número es menor. ¿Cuál es el mayor número posible del ganador?

180 El polinomio cuadrático $f(x)=ax^2+bx+c$ es de tal naturaleza que la ecuación $f(x)=x$ no tiene raíces reales. Demuestre que la ecuación $f(f(x))=0$ tampoco tiene raíces reales.

175 Demuestre que un número de $9$ dígitos que contiene todos los dígitos decimales excepto el cero y no termina en $5$ no puede ser un cuadrado perfecto.

176 Dados $n$ puntos, $n > 4$. Demuestre que puede conectarlos con flechas, de tal manera que pueda llegar a cada punto desde cualquier otro punto, habiendo pasado por una o dos flechas. (Puede conectar cada par con una sola flecha, y moverse a lo largo de la flecha en una sola dirección).

168 Un juego para dos. Uno da un dígito y el segundo lo sustituye en lugar de un asterisco en la siguiente diferencia: $$**** - **** = $$ Luego, el primero da el siguiente dígito, y así sucesivamente $8$ veces. El primero quiere obtener la mayor diferencia posible, el segundo, la menor. Demuestre que: 1. El primero puede operar de tal manera que la diferencia no sea menor que $4000$, independientemente del comportamiento del segundo. 2. El segundo puede operar de tal manera que la diferencia no sea mayor que $4000$, independientemente del comportamiento del primero.