148 Los volúmenes de agua contenidos en cada uno de tres recipientes suficientemente grandes son enteros. Solo se le permite trasladar algunas veces de un recipiente a otro el mismo volumen de agua que el recipiente de destino ya contiene. Demuestre que es posible vaciar uno de los recipientes.

149 Demuestre que si los números $p_1, p_2, q_1, q_2$ satisfacen la condición $$(q_1 - q_2)^2 + (p_1 - p_2)(p_1q_2 -p_2q_1)<0$$ entonces los polinomios cuadráticos $x^2 + p_1x + q_1$ y $x^2 + p_2x + q_2$ tienen raíces reales, y entre las raíces de cada uno hay una raíz del otro.

330 Se escribe un número real no negativo en cada vértice de un cubo. La suma de esos números es igual a $1$. Dos jugadores eligen por turnos las caras del cubo, pero no pueden elegir la cara paralela a una ya elegida (el primero mueve dos veces, el segundo una vez). Demuestre que el primer jugador puede lograr que el número en el vértice común a las tres caras elegidas no sea mayor que $1/6$.

150 Las proyecciones del cuerpo sobre dos planos son círculos. Demuestre que tienen el mismo radio.

305 Dados los puntos $A,B,M,N$ en la circunferencia. Dos cuerdas $[MA_1]$ y $[MA_2]$ son ortogonales a las rectas $(NA)$ y $(NB)$ respectivamente. Demuestre que las rectas $(AA_1)$ y $(BB_1)$ son paralelas.

147 Dado un cuadrado unitario y algunos círculos en su interior. El radio de cada círculo es menor que $0.001$, y no existe ningún par de puntos pertenecientes a círculos diferentes cuya distancia entre ellos sea exactamente $0.001$. Demuestre que el área cubierta por los círculos no es mayor que $0.34$.

168 Un juego para dos. Uno da un dígito y el segundo lo sustituye en lugar de un asterisco en la siguiente diferencia: $$**** - **** = $$ Luego, el primero da el siguiente dígito, y así sucesivamente $8$ veces. El primero quiere obtener la mayor diferencia posible, el segundo, la menor. Demuestre que: 1. El primero puede operar de tal manera que la diferencia no sea menor que $4000$, independientemente del comportamiento del segundo. 2. El segundo puede operar de tal manera que la diferencia no sea mayor que $4000$, independientemente del comportamiento del primero.

145 a) Dado un triángulo $A_1A_2A_3$ y los puntos $B_1$ y $D_2$ en el lado $[A_1A_2]$, $B_2$ y $D_3$ en el lado $[A_2A_3]$, $B_3$ y $D_1$ en el lado $[A_3A_1]$. Si se construyen los paralelogramos $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$ y $A_3B_3C_3D_3$, las rectas $(A_1C_1)$, $(A_2C_2)$ y $(A_3C_3)$ se cortarán en un punto $O$. Demuestre que si $$|A_1B_1| = |A_2D_2| \,\,\, y \,\,\, |A_2B_2| = |A_3D_3|$$ entonces $$|A_3B_3| = |A_1D_1|$$ b) Dado un polígono convexo $A_1A_2 ... A_n$ y los puntos $B_1$ y $D_2$ en el lado $[A_1A_2]$, $B_2$ y $D_3$ en el lado $[A_2A_3]$, ... $B_n$ y $D_1$ en el lado $[A_nA_1]$. Si se construyen los paralelogramos $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$, $...$, $A_nB_nC_nD_n$, las rectas $(A_1C_1)$, $(A_2C_2)$, $...$, $(A_nC_n)$ se cortarán en un punto $O$. Demuestre que $$|A_1B_1| \cdot |A_2B_2|\cdot ... \cdot |A_nB_n| = |A_1D_1|\cdot |A_2D_2|\cdot ...\cdot |A_nD_n|$$

304 Dos tableros de ajedrez iguales ($8\times 8$) tienen el mismo centro, pero uno está rotado $45$ grados con respecto al otro. Encuentre el área total de la intersección de los campos negros, si los campos tienen lados de longitud unitaria.

170 El punto $O$ en el interior de un polígono convexo forma un triángulo isósceles con todos los pares de sus vértices. Demuestre que $O$ es el centro del círculo circunscrito. Otra formulación: $P$ es un polígono convexo y $X$ es un punto interior tal que para todo par de vértices $A, B$, el triángulo $XAB$ es isósceles. Demuestre que todos los vértices de $P$ yacen sobre un círculo con centro $X$.