Sea $A$ un conjunto de enteros positivos tal que para cualesquiera dos elementos distintos $x, y\in A$ tenemos $|x-y| \geq \frac{xy}{25}.$ Demuestre que $A$ contiene a lo sumo nueve elementos. Dé un ejemplo de tal conjunto de nueve elementos.

Sea $T$ el conjunto de todos los puntos de la red (es decir, todos los puntos con coordenadas enteras) en el espacio tridimensional. Dos de estos puntos $(x, y, z)$ y $(u, v,w)$ se llaman vecinos si $|x - u| + |y - v| + |z - w| = 1$ . Demostrar que existe un subconjunto $S$ de $T$ tal que para cada $p \in T$ , hay exactamente un punto de $S$ entre $p$ y sus vecinos .

Resolver el sistema de ecuaciones simultáneas \n$$\sqrt x - \frac 1y - 2w + 3z = 1,$$ \n$$x + \frac{1}{y^2} - 4w^2 - 9z^2 = 3,$$ \n$$x \sqrt x - \frac{1}{y^3} - 8w^3 + 27z^3 = -5,$$ \n$$x^2 + \frac{1}{y^4} - 16w^4 - 81z^4 = 15.$$

Los círculos $(R, r)$ y $(P, \rho)$ , donde $r > \rho$ , son tangentes externamente en $A$ . Su tangente común directa toca a $(R, r)$ en B y a $(P, \rho)$ en $C$ . La línea $RP$ se encuentra con el círculo $(P, \rho)$ de nuevo en $D$ y con la línea $BC$ en $E$ . Si $|BC| = 6|DE|$ , demostrar que: (a) las longitudes de los lados del triángulo $RBE$ están en una progresión aritmética, y (b) $|AB| = 2|AC|.$

Sea \n$$A_n=\sum_{k=1}^n \frac{k^6}{2^k}.$$ \nEncontrar $\lim_{n\to\infty} A_n.$

Sean $x_1, x_2, \cdots , x_n$ números positivos. Demostrar que \n$$\frac{x_1^2}{x_1^2+x_2x_3} + \frac{x_2^2}{x_2^2+x_3x_4} + \cdots +\frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1}^2+x_nx_1} +\frac{x_n^2}{x_n^2+x_1x_2} \leq n-1$$

Superchess se juega en un tablero de $12 \times 12$, y utiliza supercaballeros , que se mueven entre las celdas de las esquinas opuestas de cualquier subtablero de $3\times4$. ¿Es posible que un supercaballero visite cada celda de un supertablero de ajedrez exactamente una vez y regrese a su celda inicial?

Sea $k$ un entero positivo. Define $u_0 = 0, u_1 = 1$ , y $u_n=ku_{n-1}-u_{n-2} , n \geq 2.$ Demuestre que para cada entero $n$ , el número $u_1^3 + u_2^3 +\cdots+ u_n^3 $ es un múltiplo de $u_1 + u_2 +\cdots+ u_n.$

Encuentre el promedio de la cantidad \[(a_1 - a_2)^2 + (a_2 - a_3)^2 +\cdots + (a_{n-1} -a_n)^2\] tomado sobre todas las permutaciones $(a_1, a_2, \dots , a_n)$ de $(1, 2, \dots , n).$

Encuentre el valor máximo de \[\sin^2 \theta_1+\sin^2 \theta_2+\cdots+\sin^2 \theta_n\] sujeto a las restricciones $0 \leq \theta_i , \theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n=\pi.$