2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $K,L$ puntos en $AC,BC$ , respectivamente, tales que $\angle{AKB}=\angle{ALB}$ . $P$ es la intersección de $AL$ y $BK$ , y $Q$ es el punto medio del segmento $KL$ . Sean $T,S$ las intersecciones de $AL,BK$ con $(ABC)$ , respectivamente. Demuestre que $TK,SL,PQ$ son concurrentes.

3 Halle todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $f(x+f(x))=f(-x)$ y para todo $x \leq y$ se cumple $f(x) \leq f(y)$

1 Sean $n,k$ enteros y $p$ un número primo. Halle todas las ternas $(n,k,p)$ tales que $|6n^2-17n-39|=p^k$

4 Inicialmente, Aslı distribuye $1000$ bolas en $30$ cajas como desee. Después, Aslı y Zehra realizan movimientos alternados que consisten en tomar una bola de cualquier caja, comenzando con Aslı. Quien toma la última bola de una caja se queda con esa caja. ¿Cuál es el número máximo de cajas que Aslı puede garantizar para sí misma independientemente de los movimientos de Zehra?

2 Sean $a$ , $b$ dos números reales distintos y sea $c$ un número real positivo tal que $a^4 - 2019a = b^4 - 2019b = c$ . Demuestre que $- \sqrt{c} < ab < 0$ .

1 Halle todos los números primos $p$ para los cuales existen enteros positivos $x$ , $y$ y $z$ tales que el número $x^p + y^p + z^p - x - y - z$ es un producto de exactamente tres números primos distintos.

C6 Dada una tabla $m \times n$ que consta de $mn$ celdas unitarias. Alicia y Bob juegan al siguiente juego: Alicia comienza y quien mueve colorea una de las celdas vacías con uno de los tres colores dados. Alicia gana si hay una figura, como las que se muestran abajo, que tenga tres colores diferentes. En caso contrario, el ganador es Bob. Determine el ganador para todos los casos de $m$ y $n$ con $m, n \ge 3$ . Propuesto por Toghrul Abbasov, Azerbaiyán

C5 Sea $M$ un subconjunto del conjunto de $2021$ enteros $\{1, 2, 3, ..., 2021\}$ tal que para cualesquiera tres elementos (no necesariamente distintos) $a, b, c$ de $M$ se tiene $|a + b - c | > 10$ . Determine el mayor número posible de elementos de $M$ .

C4 Alicia y Bob juegan juntos como equipo en un tablero $100 \times 100$ con todas las casillas unitarias inicialmente blancas. Alicia prepara el juego coloreando exactamente $k$ de las casillas unitarias de rojo al principio. Después de eso, un movimiento legal para Bob consiste en elegir una fila o columna con al menos $10$ casillas rojas y colorear de rojo todas las casillas restantes de ella. ¿Cuál es el menor $k$ tal que Alicia puede preparar un juego de manera que Bob pueda colorear todo el tablero de rojo tras un número finito de movimientos? Propuesto por Nikola Velov, Macedonia

2 Demuestra que, si $a,b,c$ son números reales positivos, \[ \dfrac{a}{bc}+ \dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\geq \dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}-\dfrac{2}{c}\]