3 Si $p$ es un número primo, ¿cuál es el producto de los elementos $g$ tales que $1\le g\le p^2$ y $g$ es una raíz primitiva módulo $p$ pero no es una raíz primitiva módulo $p^2$ , módulo $p^2$ ? ( $\frac{100}{6}$ puntos)

4 Demuestre que de una cuadrícula de $n\times n$ se pueden encontrar $\Omega (n^{\frac{5}{3}})$ puntos tales que no haya cuatro de ellos que sean vértices de un cuadrado con lados paralelos a las líneas de la cuadrícula. ¡Imagínese a sí mismo como Erdős (!) y adivine cuál es el mejor exponente en lugar de $\frac{5}{3}$ !

3 Demuestre que si $n$ es suficientemente grande, entre cualesquiera $n$ puntos del plano podemos encontrar $1000$ puntos tales que estos $1000$ puntos tengan distancias dos a dos distintas. ¿Puede demostrar la afirmación para $n^{\alpha}$ donde $\alpha$ es un número real positivo, en lugar de $1000$ ?

3 Demuestre que si $n$ es suficientemente grande, entonces para cada coloración de los subconjuntos del conjunto $\{1,2,...,n\}$ con $1391$ colores, existen dos subconjuntos disjuntos no vacíos $A$ y $B$ tales que $A$ , $B$ y $A\cup B$ son del mismo color.

2 Suponga que $W(k,2)$ es el número más pequeño tal que si $n\ge W(k,2)$ , para cada coloración del conjunto $\{1,2,...,n\}$ con dos colores existe una progresión aritmética monocromática de longitud $k$ . Demuestre que $W(k,2)=\Omega (2^{\frac{k}{2}})$ .

1 Demuestre que el número de incidencias de $n$ puntos distintos sobre $n$ rectas distintas en el plano es $\mathcal O (n^{\frac{4}{3}})$ . Encuentre una configuración para la cual ocurran $\Omega (n^{\frac{4}{3}})$ incidencias.

8 Sea $A_1A_2A_3A_4A_5$ un 5-ágono convexo en el cual las coordenadas de todos sus vértices son racionales. Para cada $1\leq i \leq 5$ defina $B_i$ como la intersección de las rectas $A_{i+1}A_{i+2}$ y $A_{i+3}A_{i+4}$ . ( $A_i=A_{i+5}$ ) Demuestre que a lo sumo 3 de las rectas $A_iB_i$ ( $1\leq i \leq 5$ ) son concurrentes. El tiempo permitido para este problema fue de 75 minutos.

7 Una ecuación $P(x)=Q(y)$ se llama Interesante si $P$ y $Q$ son polinomios de grado al menos uno con coeficientes enteros y la ecuación tiene un número infinito de soluciones en $\mathbb{N}$ . Una ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ produce una ecuación interesante $F(x)=G(y)$ si existe un polinomio $R(x) \in \mathbb{Q} [x]$ tal que $F(x) \equiv R(P(x))$ y $G(x) \equiv R(Q(x))$ . (a) Suponga que $S$ es un subconjunto infinito de $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ . $S$ es una solución de la ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ si cada elemento de $S$ es una solución de esta ecuación. Demuestre que para cada $S$ existe una ecuación interesante $P_0(x)=Q_0(y)$ tal que si existe alguna ecuación interesante de la cual $S$ sea una solución, entonces $P_0(x)=Q_0(y)$ produce esa ecuación. (b) Defina el grado de una ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ como $max\{deg(P),deg(Q)\}$ . Una ecuación interesante se llama primaria si no existe otra ecuación interesante de menor grado que la produzca. Demuestre que si $P(x)=Q(y)$ es una ecuación interesante primaria y $P$ y $Q$ son mónicos, entonces $(deg(P),deg(Q))=1$ . El tiempo permitido para esta pregunta fue de 2 horas.

4 $P(x)$ y $Q(x)$ son dos polinomios con coeficientes enteros tales que $P(x)|Q(x)^2+1$ . a) Demuestre que existen polinomios $A(x)$ y $B(x)$ con coeficientes racionales y un número racional $c$ tales que $P(x)=c(A(x)^2+B(x)^2)$ . b) Si $P(x)$ es un polinomio mónico con coeficientes enteros, demuestre que existen dos polinomios $A(x)$ y $B(x)$ con coeficientes enteros tales que $P(x)$ puede escribirse en la forma $A(x)^2+B(x)^2$ . Propuesto por Mohammad Gharakhani

5 Sea $p$ un número primo. Sabemos que cada número natural puede escribirse de manera única en la forma \[\sum_{i=0}^{t}a_ip^i (t,a_i \in \mathbb N\cup \{0\},0\le a_i\le p-1)\] . Ahora sea $T$ el conjunto de todas las sumas de la forma \[\sum_{i=0}^{\infty}a_ip^i (0\le a_i \le p-1).\] (Esto significa permitir números con una representación infinita en base $p$ ). Así, los números para los cuales para algún $N\in \mathbb N$ todos los coeficientes $a_i, i\ge N$ son cero son números naturales. (De hecho, podemos considerar los miembros de $T$ como sucesiones $(a_0,a_1,a_2,...)$ para las cuales $\forall_{i\in \mathbb N}: 0\le a_i \le p-1$ . ) Ahora generalizamos la suma y la multiplicación de los números naturales a este conjunto de modo que se convierta en un anillo (no es necesario demostrar este hecho). Por ejemplo: $1+(\sum_{i=0}^{\infty} (p-1)p^i)=1+(p-1)+(p-1)p+(p-1)p^2+...$ $=p+(p-1)p+(p-1)p^2+...=p^2+(p-1)p^2+(p-1)p^3+...$ $=p^3+(p-1)p^3+...=...$ Así, en esta suma, los coeficientes de todos los números $p^k, k\in \mathbb N$ son cero, por lo que esta suma es cero y, por tanto, podemos concluir que $\sum_{i=0}^{\infty}(p-1)p^i$ desempeña el papel de $-1$ (el inverso aditivo de $1$ ) en este anillo. Como ejemplo de multiplicación considere \[(1+p)(1+p+p^2+p^3+...)=1+2p+2p^2+\cdots\] Suponga que $p$ es $1$ módulo $4$ . Demuestre que existe $x\in T$ tal que $x^2+1=0$ . Propuesto por Masoud Shafaei