Una colección de $2n$ letras contiene $2$ de cada una de $n$ letras diferentes. La colección se divide en $n$ pares, cada par contiene $2$ letras, que pueden ser iguales o diferentes. Denotemos el número de particiones distintas por $u_n$. (Las particiones que difieren en el orden de los pares en la partición o en el orden de las dos letras en los pares no se consideran distintas). Demuestre que $u_{n+1}=(n+1)u_n - \frac{n(n-1)}{2} u_{n-2}.$ Problema similar : Un paquete de $2n$ cartas contiene $n$ pares de $2$ cartas idénticas. Se barajan y se reparten $2$ cartas a cada uno de los $n$ jugadores diferentes. Sea $p_n$ la probabilidad de que a cada uno de los $n$ jugadores se le repartan dos cartas idénticas. Demuestre que $\frac{1}{p_{n+1}}=\frac{n+1}{p_n} + \frac{n(n-1)}{2p_{n-2}}.$

Sean $E_1, E_2$ y $E_3$ tres elipses que se intersecan mutuamente, todas en el mismo plano. Sus focos son respectivamente $F_2, F_3; F_3, F_1;$ y $F_1, F_2$. Los tres focos no están en una línea recta. Demuestre que las cuerdas comunes de cada par de elipses son concurrentes.

a) Sea $M$ el conjunto de las longitudes de las aristas de un octaedro cuyos lados son cuadriláteros congruentes. Demuestra que $M$ tiene a lo sumo tres elementos.\nb) Sea un octaedro cuyos lados son cuadriláteros congruentes. Demuestra que cada uno de estos cuadriláteros tiene dos lados iguales que se encuentran en un vértice común.

a) Llama a un número de cuatro dígitos $(xyzt)_B$ en el sistema numérico con base $B$ estable si $(xyzt)_B = (dcba)_B - (abcd)_B$ , donde $a \leq b \leq c \leq d$ son los dígitos de $(xyzt)_B$ en orden ascendente. Determina todos los números estables en el sistema numérico con base $B.$\nb) Con las suposiciones como en a , determina el número de bases $B \leq 1985$ tales que existe un número estable con base $B.$

Sea $O$ un punto en el plano euclidiano orientado y $(\mathbf i, \mathbf j)$ una base ortonormal directamente orientada. Sea $C$ el círculo de radio $1$, centrado en $O$. Para cada número real $t$ y entero no negativo $n$, sea $M_n$ el punto en $C$ para el cual $\langle \mathbf i , \overrightarrow{OM_n} \rangle = \cos 2^n t.$ (o $\overrightarrow{OM_n} =\cos 2^n t \mathbf i +\sin 2^n t \mathbf j$ ) . Sea $k \geq 2$ un entero. Encuentra todos los números reales $t \in [0, 2\pi)$ que satisfacen (i) $M_0 = M_k$ , y (ii) si uno comienza desde $M0$ y da una vuelta alrededor de $C$ en la dirección positiva, uno se encuentra sucesivamente con los puntos $M_0,M_1, \dots,M_{k-2},M_{k-1}$ , en este orden.

Sea $d \geq 1$ un entero que no es el cuadrado de un entero. Demuestre que para cada entero $n \geq 1,$ \[(n \sqrt d +1) \cdot | \sin(n \pi \sqrt d )| \geq 1\]

Sean $K$ y $K'$ dos cuadrados en el mismo plano, cuyos lados tienen la misma longitud. ¿Es posible descomponer $K$ en un número finito de triángulos $T_1, T_2, \ldots, T_p$ con interiores mutuamente disjuntos y encontrar traslaciones $t_1, t_2, \ldots, t_p$ tales que \[K'=\bigcup_{i=1}^{p} t_i(T_i) \ ? \]

Encuentre ocho enteros positivos $n_1, n_2, \dots , n_8$ con la siguiente propiedad: Para cada entero $k$ , $-1985 \leq k \leq 1985$ , hay ocho enteros $a_1, a_2, \dots, a_8$ , cada uno perteneciendo al conjunto $\{-1, 0, 1\}$ , tales que $k=\sum_{i=1}^{8} a_i n_i .$

Sea $\mathbb N = {1, 2, 3, . . .}$ . Para reales $x, y$ , sea $S(x, y) = \{s | s = [nx+y], n \in \mathbb N\}$ . Demuestre que si $r > 1$ es un número racional, existen números reales $u$ y $v$ tales que \[S(r, 0) \cap S(u, v) = \emptyset, S(r, 0) \cup S(u, v) = \mathbb N.\]

Los enteros positivos $x_1, \cdots , x_n$ , $n \geq 3$ , satisfacen $x_1 < x_2 <\cdots< x_n < 2x_1$ . Sea $P = x_1x_2 \cdots x_n.$ Demuestre que si $p$ es un número primo, $k$ un entero positivo, y $P$ es divisible por $p^k$ , entonces $\frac{P}{p^k} \geq n!.$