La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. pbornsztein 3006 publicaciones pbornsztein #1 h 20 de julio de 2004, 3:03 PM • 3 Y Y por ahmedosama, Adventure10, Mango247 Si los enteros positivos $x$ e $y$ son tales que $3x + 4y$ y $4x + 3y$ son ambos cuadrados perfectos, demuestre que tanto $x$ como $y$ son divisibles por $7$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. pbornsztein 3006 publicaciones pbornsztein #1 h 20 de julio de 2004, 3:04 PM • 3 Y Y por Relkuyh, Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$, sea $M$ el punto medio de su lado $AC$, y sea $Z$ la recta que pasa por $C$ y es perpendicular a $AB$. El círculo que pasa por los puntos $B$, $C$ y $M$ corta a la recta $Z$ en los puntos $C$ y $Q$. Encuentre el radio del circuncírculo del triángulo $ABC$ en términos de $m = CQ$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. pbornsztein 3006 publicaciones pbornsztein #1 h 20 de julio de 2004, 3:02 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que la desigualdad \[ \frac{ x+y}{x^2-xy+y^2 } \leq \frac{ 2\sqrt 2 }{\sqrt{ x^2 +y^2 } } \] se cumple para todos los números reales $x$ e $y$, que no sean ambos iguales a 0. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 24 de agosto de 2023, 2:51 AM Y por Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$, y el incírculo toca a $BC$ en $D$. Los puntos $E, F$ son tales que $BE \parallel AI \parallel CF$ y $\angle BEI=\angle CFI=90^{\circ}$. Si $DE, DF$ cortan al incírculo en $E', F'$, demuestre que $E'F' \perp AI$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Aiden-1089 450 publicaciones Aiden-1089 #1 h 21 de oct. de 2024, 12:38 a. m. Y por Sea $S$ un conjunto de enteros positivos con la siguiente propiedad: para cada entero positivo en $S$, si eliminamos cualquier cantidad (al menos uno) de sus dígitos más a la derecha, el entero resultante no pertenece a $S$. Encuentre el valor máximo posible de $$\sum_{n \in S} \frac{1}{n}.$$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Aiden-1089 450 publicaciones Aiden-1089 #1 h 21 de octubre de 2024, 12:35 a. m. • 1 Y Y por GeoKing Sea $H$ el ortocentro de un $\Delta ABC$ acutángulo. La recta que pasa por $H$ y es paralela a $BC$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente. La recta que pasa por $H$ y es paralela a $CA$ corta a los lados $BC$ y $BA$ en $P$ y $Q$ respectivamente. La recta que pasa por $H$ y es paralela a $AB$ corta a los lados $CA$ y $CB$ en $X$ y $Y$ respectivamente. Demuestre que la recta que pasa por $A$ y es perpendicular a $QX$, la recta que pasa por $B$ y es perpendicular a $DY$ y la recta que pasa por $C$ y es perpendicular a $EP$ son concurrentes. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Aiden-1089 450 publicaciones Aiden-1089 #1 h 21 de oct. de 2024, 12:32 a. m. • 1 Y Y por cubres Hay $n \geq 2$ puntos de control. Queremos construir $k$ carreteras de tal manera que cada carretera conecte dos puntos de control diferentes directamente y no haya dos carreteras que conecten el mismo par de puntos de control. Encuentre el $k$ más pequeño (en términos de $n$) tal que, sin importar cómo construyamos las carreteras, siempre podamos ir de cualquier punto de control a cualquier otro punto de control viajando a lo largo de una o dos carreteras. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Lamp909 98 publicaciones Lamp909 #1 h 15 de abr. de 2018, 10:18 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, kiyoras_2001 Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito a un círculo. Sea $M$ un punto en el lado $AB$. Sean $I_{1}$, $I_{2}$ e $I_{3}$ los incentros de los triángulos $AMD$, $CMD$ y $BMC$ respectivamente. Demuestre que $I_{1}I_{2}I_{3}M$ es cíclico. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Lamp909, 15 de abr. de 2018, 10:18 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Assassino9931 1926 publicaciones Assassino9931 #1 h 8 de abril de 2025, 7:51 a. m. • 1 Y Y por cubres Sea $P(x)$ un polinomio mónico no constante con coeficientes enteros y sea $a_1, a_2, \ldots$ una sucesión infinita de enteros positivos. Demuestre que existen infinitos números primos, cada uno de los cuales divide al menos un término de la sucesión $P(n)^{a_n} + 1$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Assassino9931, 3 de mayo de 2025, 10:59 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Assassino9931 1926 publicaciones Assassino9931 #1 h 8 de abril de 2025, 7:50 a. m. • 1 Y Y por cubres Exactamente \( n \) celdas de una cuadrícula de \( n \times n \) están coloreadas de negro, y las celdas restantes son blancas. El costo de tal coloración es el número mínimo de celdas blancas que necesitan ser recoloreadas de negro para que, desde cualquier celda negra \( c_0 \), se pueda llegar a cualquier otra celda negra \( c_k \) a través de una sucesión \( c_0, c_1, \ldots, c_k \) de celdas negras donde cada par consecutivo \( c_i, c_{i+1} \) sea adyacente (compartiendo un lado común) para todo \( i = 0, 1, \ldots, k-1 \). Sea \( f(n) \) el costo máximo posible sobre todas las coloraciones iniciales con exactamente \( n \) celdas negras. Determine una constante $\alpha$ tal que \[ \frac{1}{3}n^{\alpha} \leq f(n) \leq 3n^{\alpha} \] para todo $n\geq 100$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Assassino9931, 9 de abril de 2025, 2:54 a. m. Z K Y