315 Los cuadriláteros $AMBE, AHBT, BKXM$ y $CKXP$ son paralelogramos. Demuestre que el cuadrilátero $ABTE$ también es un paralelogramo. (los vértices se mencionan en sentido antihorario)

305 Dados los puntos $A,B,M,N$ en la circunferencia. Dos cuerdas $[MA_1]$ y $[MA_2]$ son ortogonales a las rectas $(NA)$ y $(NB)$ respectivamente. Demuestre que las rectas $(AA_1)$ y $(BB_1)$ son paralelas.

296 Una epidemia de gripe estalló en la ciudad de los elfos. El primer día, algunos de ellos fueron infectados por la fuente externa de infección y nadie más fue infectado por la fuente externa posteriormente. Un elfo se infecta al visitar a su amigo enfermo. A pesar de la situación, cada elfo sano visita a todos sus amigos enfermos cada día. El elfo está enfermo exactamente un día y tiene inmunidad al menos el día siguiente. No hay vacunas en la ciudad. Demuestre que: a) Si hubo algunos elfos inmunizados por la fuente externa el primer día, la epidemia de gripe puede continuar durante un tiempo arbitrariamente largo. b) Si nadie tenía inmunidad el primer día, la epidemia de gripe se detendrá algún día.

150 Las proyecciones del cuerpo sobre dos planos son círculos. Demuestre que tienen el mismo radio.

149 Demuestre que si los números $p_1, p_2, q_1, q_2$ satisfacen la condición $$(q_1 - q_2)^2 + (p_1 - p_2)(p_1q_2 -p_2q_1)<0$$ entonces los polinomios cuadráticos $x^2 + p_1x + q_1$ y $x^2 + p_2x + q_2$ tienen raíces reales, y entre las raíces de cada uno hay una raíz del otro.

327 Dados dos puntos $M$ y $K$ en la circunferencia con radio $r_1$ y centro $O_1$. La circunferencia con radio $r_2$ y centro $O_2$ está inscrita en $\angle MO_1K$. Encuentre el área del cuadrilátero $MO_1KO_2$.

162 a) Sean $a,n,m$ números naturales, $a > 1$. Demuestre que si $(a^m + 1)$ es divisible por $(a^n + 1)$, entonces $m$ es divisible por $n$. b) Sean $a,b,n,m$ números naturales, $a>1$, $a$ y $b$ son primos entre sí. Demuestre que si $(a^m+b^m)$ es divisible por $(a^n+b^n)$, entonces $m$ es divisible por $n$.

172 Sean $x_1, x_2, ... , x_n$ números positivos cuya suma es $1$. Sea $s$ el mayor de los números $$\left\{\frac{x_1}{1+x_1}, \frac{x_2}{1+x_1+x_2}, ..., \frac{x_n}{1+x_1+...+x_n}\right\}$$ ¿Cuál es el valor mínimo posible de $s$? ¿Qué valores de $x_i$ le corresponden?

145 a) Dado un triángulo $A_1A_2A_3$ y los puntos $B_1$ y $D_2$ en el lado $[A_1A_2]$, $B_2$ y $D_3$ en el lado $[A_2A_3]$, $B_3$ y $D_1$ en el lado $[A_3A_1]$. Si se construyen los paralelogramos $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$ y $A_3B_3C_3D_3$, las rectas $(A_1C_1)$, $(A_2C_2)$ y $(A_3C_3)$ se cortarán en un punto $O$. Demuestre que si $$|A_1B_1| = |A_2D_2| \,\,\, y \,\,\, |A_2B_2| = |A_3D_3|$$ entonces $$|A_3B_3| = |A_1D_1|$$ b) Dado un polígono convexo $A_1A_2 ... A_n$ y los puntos $B_1$ y $D_2$ en el lado $[A_1A_2]$, $B_2$ y $D_3$ en el lado $[A_2A_3]$, ... $B_n$ y $D_1$ en el lado $[A_nA_1]$. Si se construyen los paralelogramos $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$, $...$, $A_nB_nC_nD_n$, las rectas $(A_1C_1)$, $(A_2C_2)$, $...$, $(A_nC_n)$ se cortarán en un punto $O$. Demuestre que $$|A_1B_1| \cdot |A_2B_2|\cdot ... \cdot |A_nB_n| = |A_1D_1|\cdot |A_2D_2|\cdot ...\cdot |A_nD_n|$$

168 Un juego para dos. Uno da un dígito y el segundo lo sustituye en lugar de un asterisco en la siguiente diferencia: $$**** - **** = $$ Luego, el primero da el siguiente dígito, y así sucesivamente $8$ veces. El primero quiere obtener la mayor diferencia posible, el segundo, la menor. Demuestre que: 1. El primero puede operar de tal manera que la diferencia no sea menor que $4000$, independientemente del comportamiento del segundo. 2. El segundo puede operar de tal manera que la diferencia no sea mayor que $4000$, independientemente del comportamiento del primero.