201 Encuentre todos los números de tres dígitos tales que sean iguales a la media aritmética de los seis números obtenidos al reordenar sus dígitos.

340 Una tabla cuadrada $n\times n$ está llena de enteros. Si los campos tienen un lado común, la diferencia de los números en ellos no excede $1$. Demuestre que algún número aparece: a) no menos de $[n/2]$ veces ($[...]$ denota la parte entera), b) no menos de $n$ veces.

204 Sea un triángulo $ABC$ con área $1$. Sean $A', B'$ y $C'$ los puntos medios de los lados $[BC], [CA]$ y $[AB]$ respectivamente. ¿Cuál es el área mínima posible de la parte común de los dos triángulos $A'B'C'$ y $KLM$, si los puntos $K, L$ y $M$ se encuentran sobre los segmentos $[AB'], [CA']$ y $[BC']$ respectivamente?

180 El polinomio cuadrático $f(x)=ax^2+bx+c$ es de tal naturaleza que la ecuación $f(x)=x$ no tiene raíces reales. Demuestre que la ecuación $f(f(x))=0$ tampoco tiene raíces reales.

169 Sean $x,y$ números positivos, $s$ el menor de los elementos del conjunto $\{ x, (y+ 1/x), 1/y\}$. ¿Cuál es el mayor valor posible de $s$? ¿A qué valores de $x$ e $y$ corresponde?

176 Dados $n$ puntos, $n > 4$. Demuestre que puede conectarlos con flechas, de tal manera que pueda llegar a cada punto desde cualquier otro punto, habiendo pasado por una o dos flechas. (Puede conectar cada par con una sola flecha, y moverse a lo largo de la flecha en una sola dirección).

179 La federación de tenis ha asignado números a $1024$ deportistas que participan en el torneo, de acuerdo con su habilidad. (La federación de tenis utiliza el sistema olímpico de torneos. El perdedor de cada pareja queda eliminado, y el ganador se enfrenta al ganador de otra pareja. De este modo, en la segunda ronda quedan $512$ participantes, en la tercera $256$, etc. El ganador se determina después de la décima ronda). Resulta que, en los enfrentamientos entre deportistas cuyos números difieren en más de $2$, siempre gana aquel cuyo número es menor. ¿Cuál es el mayor número posible del ganador?

200 a) Demuestre que es posible reordenar los números $1, 2, ... , 32$ de tal manera que, para cada par de números, ninguno de los números situados entre ellos sea igual a su media aritmética. b) ¿Es posible reordenar los números $1, 2, ... , 100$ de tal manera que, para cada par de números, ninguno de los números situados entre ellos sea igual a su media aritmética?

347 ¿Puede encontrar tres polinomios $P,Q,R$ de tres variables $x,y,z$, que satisfagan la condición: a ) $P(x-y+z)^3 + Q(y-z-1)^3 +R(z-2x+1)^3 = 1$ b ) $P(x-y+z)^3 + Q(y-z-1)^3 +R(z-x+1)^3 = 1$ para todo $x,y,z$?

151 Algunos números están escritos a lo largo de un anillo. Si la desigualdad $(a-d)(b-c) < 0$ se cumple para cuatro números arbitrarios en secuencia $a,b,c,d$, usted debe intercambiar las posiciones de los números $b$ y $c$. Demuestre que usted tendrá que realizar esta operación un número finito de veces.