9.2 Un insecto camina sobre la superficie de un cubo de Rubik (cubo $3 \times 3 \times 3$). Puede pasar a la celda adyacente de la misma cara o de la cara adyacente. Un día el insecto comenzó a caminar desde cierta celda y regresó a ella, habiendo visitado todas las demás celdas exactamente una vez. Demuestre que hizo una cantidad par de movimientos que cambiaron la cara en la que se encontraba.

9.3 Halle todos los enteros positivos $n$ para los cuales $$S(n^2)+S(n)^2=n$$ donde $S(m)$ denota la suma de los dígitos de $m$.

9.4 En la tabla $n \times n$ los números del $1$ al $n$ se escriben en forma de espiral. ¿Para cuáles $n$ todos los números de la diagonal principal son distintos?

9.5 Demuestre que para algún entero positivo $n$ existen enteros positivos $a$, $b$ y $c$ tales que $a^2-n=xy$, $b^2-n=yz$ y $c^2-n=xz$, donde $x,y$ y $z$ son algunos enteros positivos distintos dos a dos.

9.6 Las medianas de un triángulo rectángulo $ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$) se intersecan en $M$. El punto $L$ está sobre $AC$ tal que $\angle ABL=\angle CBL$. Resultó que $\angle BML = 90^{\circ}$. Halle la razón $AB : BC$.

9.7 Se sabe que $(x-y)^3 \vdots 6x^2-2y^2$, donde $x,y$ son algunos enteros. Demuestre que entonces también $(x+y)^3 \vdots 6x^2-2y^2$.

9.8 Se da un entero positivo $n$. Una inversión de una permutación es la cantidad de pares $(i,j)$ tales que $i<j$ y el $i$-ésimo número es menor que el $j$-ésimo número en la permutación. Demuestre que para todo entero positivo $k \leq n$ existen exactamente $\frac{n!}{k}$ permutaciones en las cuales la inversión es divisible por $k$.

10.1 Se da un número positivo arbitrario $a$. Una sucesión ${a_n}$ se define mediante las igualdades $a_1=\frac{a}{a+1}$ y $a_{n+1}=\frac{aa_n}{a^2+a_n-aa_n}$ para todo $n \geq 1$. Halle la constante mínima $C$ tal que la desigualdad $$a_1+a_1a_2+\ldots+a_1\ldots a_m<C$$ se cumple para todos los enteros positivos $m$ independientemente de $a$

10.2 En un triángulo $ABC$ se cumple la igualdad $2BC=AB+AC$. La bisectriz del ángulo $\angle BAC$ interseca a $BC$ en $L$. Una circunferencia tangente a $AL$ en $L$ y que pasa por $B$ interseca a $AB$ por segunda vez en $X$. Una circunferencia tangente a $AL$ en $L$ y que pasa por $C$ interseca a $AC$ por segunda vez en $Y$. Halle todos los valores posibles de $XY:BC$

10.3 Se dan números impares $x,y,z$ tales que $gcd(x,y,z)=1$. Resultó que $x^2+y^2+z^2 \vdots x+y+z$. Demuestre que $x+y+z-2$ no es divisible por $3$