Los puntos $D$ y $E$ en el circuncírculo de un triángulo acutángulo $ABC$ son tales que $AD=AE = BC$ . Sea $H$ el punto común de las alturas del triángulo $ABC$ . Se sabe que $AH^{2}=BH^{2}+CH^{2}$ . Demuestre que $H$ se encuentra en el segmento $DE$ .

Encuentre todas las funciones $f(x),$ continuas en todo el eje real, tales que para cada $x$ real \[f(3x-2)\leq f(x)\leq f(2x-1).\]

Se da un entero positivo $c$. La secuencia $\{p_{k}\}$ se construye según la siguiente regla: $p_{1}$ es un primo arbitrario y para $k\geq 1$ el número $p_{k+1}$ es cualquier divisor primo de $p_{k}+c$ no presente entre los números $p_{1}$ , $p_{2}$ , $\dots$ , $p_{k}$ . Demuestre que la secuencia $\{p_{k}\}$ no puede ser infinita.

Una tabla rectangular con 2001 filas y 2002 columnas se divide en rectángulos de $1\times 2$. Se sabe que cualquier otra partición de la tabla en rectángulos de $1\times 2$ contiene un rectángulo perteneciente a la partición original. Demuestre que la partición original contiene dos columnas sucesivas cubiertas por 2001 rectángulos horizontales.

Un círculo que tiene un centro común con el circuncírculo del triángulo $ABC$ se encuentra con los lados del triángulo en seis puntos que forman el hexágono convexo $A_{1}A_{2}B_{1}B_{2}C_{1}C_{2}$ ( $A_{1}$ y $A_{2}$ están en $BC$ , $B_{1}$ y $B_{2}$ están en $AC$ , $C_{1}$ y $C_{2}$ están en $AB$ ) . Si $A_{1}B_{1}$ es paralelo a la bisectriz del ángulo $B$ , demuestre que $A_{2}C_{2}$ es paralelo a la bisectriz del ángulo $C$ .

Sean $a,b,c,d$ números reales positivos tales que $abcd=1$ . Demostrar que \[ \frac{1+ab}{1+a} + \frac{1+bc}{1+b} + \frac{1+cd}{1+c} + \frac{1+da}{1+d} \geq 4 . \]

Cada uno de los puntos $G$ y $H$ que se encuentran en lados diferentes del plano del hexágono $ABCDEF$ está conectado con todos los vértices del hexágono. ¿Es posible marcar 18 segmentos así formados con los números $1, 2, 3, \ldots, 18$ y colocar algunos números reales en los puntos $A, B, C, D, E, F, G, H$ de modo que cada segmento esté marcado con la diferencia de los números en sus extremos?

El siguiente problema está abierto en el sentido de que la respuesta a la parte (b) no se conoce actualmente. Una prueba de la parte (a) recibirá 5 puntos. Se pueden otorgar hasta 7 puntos adicionales por el progreso en la parte (b). Sea $p(x)$ un polinomio de grado $d$ con coeficientes pertenecientes al conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$. Suponga que, para cada $1 \le k \le d-1$, $p(x)$ y su derivada $k$-ésima $p^{(k)}(x)$ tienen una raíz común en $\mathbb{Q}$; es decir, existe $r_k \in \mathbb{Q}$ tal que $p(r_k) = p^{(k)}(r_k) = 0$.\n(a) Demuestre que si $d$ es primo, entonces existen constantes $a, b, c \in \mathbb{Q}$ tales que \[ p(x) = c(ax + b)^d. \]\n(b) ¿Para qué enteros $d \ge 2$ se cumple la conclusión de la parte (a)?

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen las siguientes dos propiedades.\n(i) La integral de Riemann $\int_a^b f(t) \mathrm dt$ existe para todos los números reales $a < b$.\n(ii) Para cada número real $x$ y cada entero $n \ge 1$ tenemos \[ f(x) = \frac{n}{2} \int_{x-\frac{1}{n}}^{x+\frac{1}{n}} f(t) \mathrm dt. \]

Sea $n$ un entero positivo. Hay $n$ lámparas, cada una con un interruptor que cambia la lámpara de encendida a apagada, o de apagada a encendida, cada vez que se presiona. Las lámparas están inicialmente todas apagadas. Va a presionar los interruptores en una serie de rondas. En la primera ronda, va a presionar exactamente $1$ interruptor; en la segunda ronda, va a presionar exactamente $2$ interruptores; y así sucesivamente, de modo que en la ronda $k$-ésima va a presionar exactamente $k$ interruptores. En cada ronda presionará cada interruptor a lo más una vez. Su objetivo es terminar una ronda con todas las lámparas encendidas. Determine para qué $n$ puede lograr este objetivo.