Sea $\omega$ una semicircunferencia con diámetro $AB$. Sea $M$ el punto medio de $AB$. Sean $X,Y$ puntos en el mismo semiplano con $\omega$ con respecto a la línea $AB$ tal que $AMXY$ es un paralelogramo. Sea $XM\cap \omega = C$ e $YM \cap \omega = D$. Sea $I$ el incentro del $\triangle XYM$. Sea $AC \cap BD= E$ y $ME$ intersecta a $XY$ en $T$. Sea el punto de intersección de $TI$ y $AB$ sea $Q$ y sea la proyección perpendicular de $T$ sobre $AB$ sea $P$. Demuestra que $M$ es el punto medio de $PQ$

Sea $n$ un entero positivo. Los números $1, 2, \dots, 2n+1$ están dispuestos en un círculo en ese orden, y algunos de ellos están marcados. Definimos, para cada $k$ tal que $1\leq k \leq 2n+1$, el intervalo $I_k$ como el intervalo circular cerrado que comienza en $k$ y termina en $k+n$ (tomando residuos mod(2n+1)). Llamamos a un intervalo mágico si contiene estrictamente más de la mitad de todos los elementos marcados. Demuestra que las siguientes dos afirmaciones son equivalentes:\n1. Al menos $n+1$ de los intervalos $I_1, I_2, \dots, I_{2n+1}$ son mágicos.\n2. El número de números marcados es impar.

Llamamos a un par de números distintos $(a, b)$ un par binario si $ab+1$ es una potencia de dos. Dado un conjunto $S$ de $n$ enteros positivos, ¿cuál es el máximo número posible de pares binarios en $S$?

Sea $\mathcal{F}$ una familia de subconjuntos (distintos) del conjunto ${1,2,\dots,n}$ tal que para todo $A$, $B\in \mathcal{F}$, tenemos que $A^C\cup B\in \mathcal{F}$, donde $A^C$ es el conjunto de todos los miembros de ${1,2,\dots,n}$ que no están en $A$. Demuestra que todo $k\in {1,2,\dots,n}$ aparece en al menos la mitad de los conjuntos en $\mathcal{F}$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ e incírculo $\omega$. Sea $\ell$ la tangente a $\omega$ paralela a $BC$ y distinta de $BC$. Sea $D$ la intersección de $\ell$ y $AC$, y sea $M$ el punto medio de $\overline{ID}$. Demuestra que $\angle AMD = \angle DBC$.

Para cada número real $x$ , sea $||x||$ denote la distancia entre $x$ y el entero más cercano. Demuestra que para cada par $(a, b)$ de enteros positivos existe un primo impar $p$ y un entero positivo $k$ que satisface \[\displaystyle\left|\left|\frac{a}{p^k}\right|\right|+\left|\left|\frac{b}{p^k}\right|\right|+\left|\left|\frac{a+b}{p^k}\right|\right|=1.\]

Sea $c \ge 1$ un entero. Define una secuencia de enteros positivos por $a_1 = c$ y \[a_{n+1}=a_n^3-4c\cdot a_n^2+5c^2\cdot a_n+c\] para todo $n\ge 1$. Demuestra que para cada entero $n \ge 2$ existe un número primo $p$ que divide a $a_n$ pero a ninguno de los números $a_1 , \ldots , a_{n -1}$.

Sean $a_1 < a_2 < \cdots <a_n$ enteros positivos coprimos por pares con $a_1$ siendo primo y $a_1 \ge n + 2$. En el segmento $I = [0, a_1 a_2 \cdots a_n ]$ de la recta real, marca todos los enteros que son divisibles por al menos uno de los números $a_1 , \ldots , a_n$. Estos puntos dividen a $I$ en una cantidad de segmentos más pequeños. Demuestra que la suma de los cuadrados de las longitudes de estos segmentos es divisible por $a_1$.

Encuentra todas las ternas $(p, x, y)$ que consisten en un número primo $p$ y dos enteros positivos $x$ e $y$ tales que $x^{p -1} + y$ y $x + y^ {p -1}$ son ambos potencias de $p$.

Sea $n > 1$ un entero dado. Demuestre que infinitos términos de la secuencia $(a_k )_{k\ge 1}$ , definida por \[a_k=\left\lfloor\frac{n^k}{k}\right\rfloor,\] son impares. (Para un número real $x$ , $\lfloor x\rfloor$ denota el entero más grande que no excede a $x$ . )