B4 ¿Puede un conjunto numerablemente infinito tener una colección no numerable de subconjuntos no vacíos tal que la intersección de cualesquiera dos de ellos sea finita?

Etiqueta los vértices de un trapecio $T$ inscrito en el círculo unitario como $A,B,C,D$ en sentido antihorario, con $AB\parallel CD$. Sean $s_1,s_2$ y $d$ las longitudes de $AB$, $CD$ y $OE$, respectivamente, donde $E$ es la intersección de las diagonales de $T$, y $O$ es el centro del círculo. Determina la menor cota superior de $\frac{s_1-s_2}{d}$ sobre todos los $T$ para los cuales $d\ne 0$, y describe todos los casos, si los hay, en los que se alcanza la igualdad.

B6 Sea $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ un punto elegido al azar en la región $n$-dimensional definida por $0<x_1<x_2<\ldots<x_n<1$, denotando $x_0=0$ y $x_{n+1}=1$. Sea $f$ una función continua en $[0,1]$ con $f(1)=0$. Muestra que el valor esperado de la suma $$\sum_{i=0}^n(x_{i+1}-x_i)f(x_{i+1})$$ es $\int^1_0f(t)P(t)dt$, donde $P$ es un polinomio de grado $n$, independiente de $f$, con $0\le P(t)\le1$ para $0\le t\le1$.

A1 Sea $R$ la región formada por los puntos $(x,y)$ del plano cartesiano que satisfacen a la vez $|x|-|y| \leq 1$ y $|y| \leq 1$. Dibuja la región $R$ y encuentra su área.

A2 Un error común en cálculo es creer que la regla del producto para derivadas dice que $(fg)' = f'g'$. Si $f(x)=e^{x^2}$, determina, con prueba, si existe un intervalo abierto $(a,b)$ y una función $g$ distinta de cero definida en $(a,b)$ tal que esta regla del producto incorrecta sea verdadera para $x$ en $(a,b)$.

A3 Determina, con demostración, el conjunto de números reales $x$ para los cuales \[ \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} \csc \frac{1}{n} - 1 \right)^x \] converge.

(a) Si cada punto del plano se pinta de uno de tres colores, ¿existen necesariamente dos puntos del mismo color exactamente a una pulgada de distancia? (b) ¿Y si se reemplaza "tres" por "nueve"?

A5 Demuestra que existe una única función $f$ del conjunto $\mathrm{R}^+$ de los números reales positivos a $\mathrm{R}^+$ tal que \[ f(f(x)) = 6x-f(x) \] y \[ f(x)>0 \] para todo $x>0$ .

A6 Si una transformación lineal $A$ sobre un espacio vectorial de dimensión $n$ tiene $n+1$ vectores propios tales que cualesquiera $n$ de ellos son linealmente independientes, ¿se sigue que $A$ es un múltiplo escalar de la identidad? Demuestra tu respuesta.

B1 Un compuesto (entero positivo) es un producto $ab$ con $a$ y $b$ enteros no necesariamente distintos en $\{2,3,4,\dots\}$. Demuestra que todo compuesto se puede expresar como $xy+xz+yz+1$, con $x,y,z$ enteros positivos.