145 a) Dado un triángulo $A_1A_2A_3$ y los puntos $B_1$ y $D_2$ en el lado $[A_1A_2]$, $B_2$ y $D_3$ en el lado $[A_2A_3]$, $B_3$ y $D_1$ en el lado $[A_3A_1]$. Si se construyen los paralelogramos $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$ y $A_3B_3C_3D_3$, las rectas $(A_1C_1)$, $(A_2C_2)$ y $(A_3C_3)$ se cortarán en un punto $O$. Demuestre que si $$|A_1B_1| = |A_2D_2| \,\,\, y \,\,\, |A_2B_2| = |A_3D_3|$$ entonces $$|A_3B_3| = |A_1D_1|$$ b) Dado un polígono convexo $A_1A_2 ... A_n$ y los puntos $B_1$ y $D_2$ en el lado $[A_1A_2]$, $B_2$ y $D_3$ en el lado $[A_2A_3]$, ... $B_n$ y $D_1$ en el lado $[A_nA_1]$. Si se construyen los paralelogramos $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$, $...$, $A_nB_nC_nD_n$, las rectas $(A_1C_1)$, $(A_2C_2)$, $...$, $(A_nC_n)$ se cortarán en un punto $O$. Demuestre que $$|A_1B_1| \cdot |A_2B_2|\cdot ... \cdot |A_nB_n| = |A_1D_1|\cdot |A_2D_2|\cdot ...\cdot |A_nD_n|$$

185 Dado un triángulo con lados $a,b,c$ y área $1$ ($a \ge b \ge c$). Demuestre que $b^2 \ge 2$.

148 Los volúmenes de agua contenidos en cada uno de tres recipientes suficientemente grandes son enteros. Solo se le permite trasladar algunas veces de un recipiente a otro el mismo volumen de agua que el recipiente de destino ya contiene. Demuestre que es posible vaciar uno de los recipientes.

149 Demuestre que si los números $p_1, p_2, q_1, q_2$ satisfacen la condición $$(q_1 - q_2)^2 + (p_1 - p_2)(p_1q_2 -p_2q_1)<0$$ entonces los polinomios cuadráticos $x^2 + p_1x + q_1$ y $x^2 + p_2x + q_2$ tienen raíces reales, y entre las raíces de cada uno hay una raíz del otro.

150 Las proyecciones del cuerpo sobre dos planos son círculos. Demuestre que tienen el mismo radio.

186 Dado un $n$-gono convexo con lados no paralelos entre sí y un punto en su interior. Demuestre que no existen más de $n$ líneas rectas que pasen por dicho punto y dividan el área del $n$-gono por la mitad.

162 a) Sean $a,n,m$ números naturales, $a > 1$. Demuestre que si $(a^m + 1)$ es divisible por $(a^n + 1)$, entonces $m$ es divisible por $n$. b) Sean $a,b,n,m$ números naturales, $a>1$, $a$ y $b$ son primos entre sí. Demuestre que si $(a^m+b^m)$ es divisible por $(a^n+b^n)$, entonces $m$ es divisible por $n$.

169 Sean $x,y$ números positivos, $s$ el menor de los elementos del conjunto $\{ x, (y+ 1/x), 1/y\}$. ¿Cuál es el mayor valor posible de $s$? ¿A qué valores de $x$ e $y$ corresponde?

166 Cada una de las $9$ líneas rectas divide el cuadrado dado en dos cuadriláteros con una razón de áreas de $2:3$. Demuestre que existen tres de ellas que se intersecan en un mismo punto.

172 Sean $x_1, x_2, ... , x_n$ números positivos cuya suma es $1$. Sea $s$ el mayor de los números $$\left\{\frac{x_1}{1+x_1}, \frac{x_2}{1+x_1+x_2}, ..., \frac{x_n}{1+x_1+...+x_n}\right\}$$ ¿Cuál es el valor mínimo posible de $s$? ¿Qué valores de $x_i$ le corresponden?