1 ¿Se pueden encontrar $27$ puntos en el plano tales que cualesquiera tres de ellos formen un triángulo escaleno? Si es así, demuestra que entre estos puntos es posible formar exactamente $65$ triángulos acutángulos distintos.

18. En la figura siguiente, $BD=CD$, $BE=DE$, $AP=PD$, y $DG \parallel CF$. Determina la razón $\frac{\text{área}(\triangle ADH)}{\text{área}(\triangle ABC)}$.

17. Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales y $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ una función que satisface $f(x)f(y)=f(x-y)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$. Encuentra todos los valores posibles de $f(2025)$. Pi-Infinity

15. Considera polinomios de la forma $p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots+a_{n}x^{n}$ donde $a_{0}<a_{1}<\dots<a_{n}$ son todos los divisores positivos posibles de $a_{n}$ y $a_{n}\le2025$, y además, dos de los coeficientes son $14$ y $17$. ¿Cuál es el mayor grado posible de tales polinomios?

14. Para cada entero \(n\), sea \(f(n)=\frac{1}{3^{n}+\sqrt{3}}\). Demuestra que: $$\sqrt{3}[f(-5)+f(-4)+f(-3)+\dots+f(4)+f(5)+f(6)]=6$$.

13. Encuentra el mayor número de dos dígitos \( n \) tal que el cuadrado de la suma de los dígitos de \( n \) sea igual a la suma de los dígitos de \( n^{2} \).

Sea $n$ un entero positivo. En el reino JMO hay $2^n$ ciudadanos y un rey. En cuanto a la moneda, el reino usa billetes de papel con valor $2^n$ y monedas con valor $2^a$ $(a=0,1,\ldots,n-1)$. Cada ciudadano tiene infinitos billetes de papel. Sea $S$ el número total de monedas en el reino. Un buen día, el rey decidió implementar una política que se lleva a cabo cada noche: Cada ciudadano debe decidir una cantidad finita de dinero basada en las monedas que tiene actualmente, y debe pasar esa cantidad a otro ciudadano o al rey; Cada ciudadano debe pasar exactamente $1$ más de la cantidad que recibió de otros ciudadanos. Encuentra el valor mínimo de $S$ tal que el rey pueda recolectar dinero cada noche eternamente.

3. Si $a, b, c$ son números reales positivos, encuentra el valor mínimo de $$\frac{(a^{2}+3a+1)(b^{2}+3b+1)(c^{2}+3c+1)}{abc}$$ Pi-Infinity

Se eligen puntos \(N\) y \(M\) sobre los lados \(AB\) y \(BC\) del triángulo \(ABC\) tales que \(\angle BCN=\dfrac13\angle BCA\) y \(\angle BAM=\dfrac13\angle BAC\). Si \(CN=AM\), entonces demuestra que el triángulo \(ABC\) es equilátero.

6 Demuestra que en un círculo de radio $5^n$ ( $n\ge 1$ ) es posible elegir $n+1$ puntos tales que la distancia entre cualesquiera dos de ellos sea un número entero.