Sea $P$ un $1986$ -gono convexo en el plano. Sean $A,D$ puntos interiores de dos lados distintos de $P$ y sean $B,C$ dos puntos interiores distintos del segmento de línea $AD$ . Comenzando con un punto arbitrario $Q_1$ en el borde de $P$ , define recursivamente una secuencia de puntos $Q_n$ de la siguiente manera: dado $Q_n$ , extiende el segmento de línea dirigido $Q_nB$ para encontrar el borde de $P$ en un punto $R_n$ y luego extiende $R_nC$ para encontrar el borde de $P$ nuevamente en un punto, que se define como $Q_{n+1}$ . Demuestra que para todo $n$ suficientemente grande, los puntos $Q_n$ están en uno de los lados de $P$ que contiene a $A$ o $D$ .

Sean $A,B$ vértices adyacentes de un $n$ -ágono regular ( $n\ge5$ ) con centro $O$ . Un triángulo $XYZ$ , que es congruente e inicialmente coincide con $OAB$ , se mueve en el plano de tal manera que $Y$ y $Z$ trazan todo el borde del polígono, con $X$ permaneciendo dentro del polígono. Encuentra el lugar geométrico de $X$ .

Deseamos construir una matriz con $19$ filas y $86$ columnas, con entradas $x_{ij} \in \{0, 1, 2\} \ (1 \leq i \leq 19, 1 \leq j \leq 86)$ , tal que: (i) en cada columna hay exactamente $k$ términos iguales a $0$ ; (ii) para cualquier $j, k \in \{1, . . . , 86\}$ distintos, existe $i \in \{1, . . . , 19\}$ con $x_{ij} + x_{ik} = 3.$ ¿Para qué valores de $k$ es esto posible?

Dados $n$ números reales $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$ , defina\n\[M_1=\frac 1n \sum_{i=1}^{n} a_i , \quad M_2=\frac{2}{n(n-1)} \sum_{1 \leq i<j \leq n} a_ia_j, \quad Q=\sqrt{M_1^2-M_2}\]\nPruebe que\n\[a_1 \leq M_1 - Q \leq M_1 + Q \leq a_n\]\ny que la igualdad se cumple si y sólo si $a_1 = a_2 = \cdots = a_n.$

El círculo inscrito en un triángulo $ABC$ toca los lados $BC,CA,AB$ en $D,E, F$ , respectivamente, y $X, Y,Z$ son los puntos medios de $EF, FD,DE$ , respectivamente. Pruebe que los centros del círculo inscrito y de los círculos alrededor de $XYZ$ y $ABC$ son colineales.

Tres personas $A,B,C$ , están jugando el siguiente juego: Un subconjunto de $k$ elementos del conjunto $\{1, . . . , 1986\}$ es elegido aleatoriamente, con una probabilidad igual de cada elección, donde $k$ es un entero positivo fijo menor o igual a $1986$. El ganador es $A,B$ o $C$ , respectivamente, si la suma de los números elegidos deja un residuo de $0, 1$ , o $2$ cuando se divide por $3$. ¿Para qué valores de $k$ es este juego justo? (Un juego es justo si los tres resultados son igualmente probables.)

Los enteros $1, 2, \cdots, n^2$ son colocados en los campos de un tablero de ajedrez de $n \times n$ $(n > 2)$ de tal manera que dos campos cualesquiera que tienen un borde común o un vértice se les asignan números que difieren en a lo más $n + 1$. ¿Cuál es el número total de tales colocaciones?

Sean $M,N,P$ los puntos medios de los lados $BC, CA, AB$ de un triángulo $ABC$. Las líneas $AM, BN, CP$ intersecan la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $A',B', C'$ , respectivamente. Demuestre que si $A'B'C'$ es un triángulo equilátero, entonces también lo es $ABC$.

Hallar el valor máximo que puede tener la cantidad $2m+7n$ tal que existan enteros positivos distintos $x_i \ (1 \leq i \leq m), y_j \ (1 \leq j \leq n)$ tales que los $x_i$ 's sean pares, los $y_j$ 's sean impares, y $\sum_{i=1}^{m} x_i +\sum_{j=1}^{n} y_j=1986.$

Sea $S$ un conjunto de $k$ elementos. (a) Hallar el número de aplicaciones $f : S \to S$ tal que \[\text{(i) } f(x) \neq x \text{ para } x \in S, \quad \text{(ii) } f(f(x)) = x \text{ para }x \in S.\] \n(b) Lo mismo sin la condición $\text{(i)}$.