5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con diagonales perpendiculares. Suponga que $ABCD$ está inscrito en la circunferencia con centro $O$ . Demuestre que $AOC$ divide a $ABCD$ en dos cuadriláteros de igual área.

1 ¿Qué número es mayor, $\sqrt[2012]{2012!}$ o $\sqrt[2013]{2013!}$ ?

2 Un profesor de matemáticas escribió en una pizarra un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros y dijo: "Hoy es el cumpleaños de mi hija. Si en el polinomio $P(x)$ ponemos $x=a$ , donde $a$ es la edad de mi hija, tenemos $P(a)=a$ y $P(0)=p$ , donde $p$ es un número primo tal que $p>a$ . " ¿Cuántos años tiene la hija del profesor de matemáticas?

3 Halle todos los números $x$ tales que: $1+2\cdot2^x+3\cdot3^x<6^x$ .

4 Calcule: $\sqrt{3\sqrt{5\sqrt{3\sqrt{5...}}}}$

5 Un trapecio tiene lados paralelos de longitudes iguales a $a$ y $b$ ( $a <b$ ) , y la distancia entre los lados paralelos es la altura $h$ . Las prolongaciones de los lados no paralelos se intersecan en un punto que es vértice de dos triángulos que tienen como lados los lados paralelos del trapecio. Exprese las áreas de los triángulos como funciones de $a,b$ y $h$ .

1 Halle el valor de $(1+2)(1+2^2)(1+2^4)(1+2^8)...(1+2^{2048})$ .

2 Si $a>1,b>1$ son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y $c$ la longitud de su hipotenusa, demuestre que $a+b\leq c\sqrt 2$ .

3 Se dan los enteros $a_1,a_2,...,a_{2012}$ . Exactamente $29$ de ellos son divisibles por $3$ . Demuestre que la suma $a_1^2+a_2^2+...+a_{2012}^2$ es divisible por $3$ .

4 En el interior del cuadrado $ABCD$ se da el punto $P$ tal que $|PA|:|PB|:|PC|=1:2:3$ . Halle $\angle APB$ .