Sean $a_1,a_2 \cdots a_{2n}$ una progresión aritmética de números reales positivos con diferencia común $d$ . Sea $(i)$ $\sum_{i=1}^{n}a_{2i-1}^2 =x$ $(ii)$ $\sum _{i=1}^{n}a_{2i}^2=y$ $(iii)$ $a_n+a_{n+1}=z$ Exprese $d$ en términos de $x,y,z,n$

En el triángulo acutángulo $\triangle ABC,$ sea $D$ el pie de la perpendicular de $A$ sobre $BC$ . Considere los puntos $K, L, M$ en el segmento $AD$ tales que $AK= KL= LM= MD$ . Suponga que la suma de las áreas de la región sombreada es igual a la suma de las áreas de las regiones no sombreadas en la siguiente imagen. Demuestra que $BD= DC$ .

Sean $D,E,F$ los puntos de contacto del incírculo de un triángulo acutángulo $ABC$ con $BC,CA,AB$ respectivamente. Sean $I_1,I_2,I_3$ los incentros de los triángulos $AFE, BDF, CED$ , respectivamente. Demuestra que las líneas $I_1D, I_2E, I_3F$ son concurrentes.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que \[ \cfrac{1}{1+a}+\cfrac{1}{1+b}+\cfrac{1}{1+c}\le 1. \] Demuestra que $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\ge 125$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Una persona se mueve en el plano $x-y$ moviéndose a lo largo de puntos con coordenadas enteras $x$ e $y$ solamente. Cuando está en un punto $(x,y)$ , da un paso basado en las siguientes reglas: (a) si $x+y$ es par, se mueve a $(x+1,y)$ o $(x+1,y+1)$ ; (b) si $x+y$ es impar, se mueve a $(x,y+1)$ o $(x+1,y+1)$ . ¿Cuántos caminos distintos puede tomar para ir de $(0,0)$ a $(8,8)$ dado que dio exactamente tres pasos hacia la derecha $((x,y)$ a $(x+1,y))$ ?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo en el que $\angle ABC$ es el ángulo más grande. Sea $O$ su circuncentro. Las bisectrices perpendiculares de $BC$ y $AB$ se encuentran en $AC$ en $X$ e $Y$ respectivamente. Las bisectrices internas del ángulo de $\angle AXB$ y $\angle BYC$ se encuentran en $AB$ y $BC$ en $D$ y $E$ respectivamente. Demuestra que $BO$ es perpendicular a $AC$ si $DE$ es paralelo a $AC$ .

Las raíces de la ecuación \[ x^3-3ax^2+bx+18c=0 \] forman una progresión aritmética no constante y las raíces de la ecuación \[ x^3+bx^2+x-c^3=0 \] forman una progresión geométrica no constante. Dado que $a,b,c$ son números reales, encuentra todos los valores integrales positivos de $a$ y $b$ .

Tres números reales positivos $a,b,c$ son tales que $a^2+5b^2+4c^2-4ab-4bc=0$ . ¿Pueden $a,b,c$ ser las longitudes de los lados de un triángulo? Justifica tu respuesta.

¿Cuál es el número de pares ordenados $(A,B)$ donde $A$ y $B$ son subconjuntos de $\{1,2,..., 5\}$ tales que ni $A \subseteq B$ ni $B \subseteq A$ ?

Sean $x_1,x_2,... ,x_{2014}$ números reales diferentes de $1$ , tales que $x_1 + x_2 +...+x_{2014} = 1$ y $\frac{x_1}{1-x_1}+\frac{x_2}{1-x_2}+...+\frac{x_{2014}}{1-x_{2014}}=1$ ¿Cuál es el valor de $\frac{x^2_1}{1-x_1}+\frac{x^2_2}{1-x_2}+...+\frac{x^2_{2014}}{1-x_{2014}}$ ?