Suponga que $n$ es impar y cada cuadrado de una cuadrícula de $n \times n$ se llena arbitrariamente con $1$ o $-1$ . Sean $r_j$ y $c_k$ el producto de todos los números en la fila $j$ - ésima y la columna $k$ - ésima respectivamente, $1 \le j, k \le n$ . Demuestra que $$\sum_{j=1}^{n} r_j+ \sum_{k=1}^{n} c_k\ne 0$$

Sea $ABC$ un triángulo con $AB > AC$ . Sea $P$ un punto en la línea $AB$ más allá de $A$ tal que $AP +P C = AB$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ y sea $Q$ el punto en el lado $AB$ tal que $CQ \perp AM$ . Demuestra que $BQ = 2AP.$

Para cualquier entero positivo $ n > 1$ , sea $P(n)$ el primo más grande que no excede a $n$ . Sea $N(n)$ el siguiente primo más grande que $P(n)$ . (Por ejemplo $P(10) = 7$ y $N(10) = 11$ , mientras que $P(11) = 11$ y $N(11) = 13$ . ) Si $n + 1$ es un número primo, demuestra que el valor de la suma $ \frac{1}{P(2)N(2)} + \frac{1}{P(3)N(3)} + \cdot\cdot\cdot + \frac{1}{P(n)N(n)} = \frac{n-1}{2n+2} $

Encuentra todos los pares de $(x, y)$ de enteros positivos tales que $2x + 7y$ divide a $7x + 2y$ .

Sean $x, y, z$ números reales positivos. Demuestra que $\frac{y^2 + z^2}{x}+\frac{z^2 + x^2}{y}+\frac{x^2 + y^2}{z}\ge 2(x + y + z)$ .

En un triángulo acutángulo $ABC, \angle ABC$ es el ángulo más grande. Las bisectrices perpendiculares de $BC$ y $BA$ se intersecan en AC en $X$ e $Y$ respectivamente. Demuestra que el circuncentro del triángulo $ABC$ es el incentro del triángulo $BXY$ .

Sean $x_1,x_2,x_3 \ldots x_{2014}$ números reales positivos tales que $\sum_{j=1}^{2014} x_j=1$ . Determine con prueba la constante más pequeña $K$ tal que \[K\sum_{j=1}^{2014}\frac{x_j^2}{1-x_j} \ge 1\]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $H$ como su ortocentro. Para cualquier punto $P$ en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ , sea $Q$ el punto de intersección de la línea $BH$ con la línea $AP$ . Demuestra que hay un punto único $X$ en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ tal que para cada $P$ diferente de $B,C$ , la circunferencia circunscrita de $HPQ$ pasa por $X$ .

¿Es posible escribir los números $17$ , $18$ , $19$ , .. . $32$ en una cuadrícula de $4*4$ cuadrados unitarios con un número en cada cuadrado de tal manera que si la cuadrícula se divide en cuatro subcuadrículas de $2*2$ cuadrados unitarios, entonces el producto de los números en cada una de las subcuadrículas sea divisible por $16$ ?

Suponga que para algunos enteros positivos $r$ y $s$ , $2^r$ se obtiene permutando los dígitos de $2^s$ en expansión decimal. Demuestra que $r=s$ .