Sea $f$ una función uno a uno del conjunto de números naturales a sí mismo tal que $f(mn) = f(m)f(n)$ para todos los números naturales $m$ y $n$ . ¿Cuál es el valor mínimo posible de $f (999)$ ?

Para un número natural $b$ , sea $N(b)$ el número de números naturales $a$ para los cuales la ecuación $x^2 + ax + b = 0$ tiene raíces enteras. ¿Cuál es el valor más pequeño de $b$ para el cual $N(b) = 20$?

En un triángulo $ABC$ , sea $I$ el incentro. Sean las rectas $AI,BI$ y $CI$ que intersecan a la circunferencia inscrita en $P,Q$ y $R$ , respectivamente. Si $\angle BAC = 40^o$ , ¿cuál es el valor de $\angle QPR$ en grados?

Sea $XOY$ un triángulo con $\angle XOY = 90^o$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $OX$ y $OY$, respectivamente. Suponga que $XN = 19$ y $YM =22$. ¿Cuál es $XY$?

Una mañana, cada miembro de la familia de Manjul bebió una mezcla de $8$ onzas de café y leche. Las cantidades de café y leche variaron de taza en taza, pero nunca fueron cero. Manjul bebió $1/7$ de la cantidad total de leche y $2/17$ del total de café. ¿Cuántas personas hay en la familia de Manjul?

¿Para cuántos números naturales $n$ entre $1$ y $2014$ (ambos inclusive) es $\frac{8n}{9999-n}$ un entero?

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle DAB =\angle B DC = 90^o$. Sean los incírculos de los triángulos $ABD$ y $BCD$ que tocan a $BD$ en $P$ y $Q$, respectivamente, con $P$ entre $B$ y $Q$. Si $AD = 999$ y $PQ = 200$, ¿cuál es la suma de los radios de los incírculos de los triángulos $ABD$ y $BDC$?

Para números naturales $x$ e $y$, sea $(x,y)$ el máximo común divisor de $x$ e $y$. ¿Cuántos pares de números naturales $x$ e $y$ con $x \le y$ satisfacen la ecuación $xy = x + y + (x, y)$?

En un triángulo $ABC, X$ e $Y$ son puntos en los segmentos $AB$ y $AC$ , respectivamente, tales que $AX : XB = 1 : 2$ y $AY :YC = 2:1$ . Si el área del triángulo $AXY$ es $10$ , entonces, ¿cuál es el área del triángulo $ABC$?

Los números naturales $k, l,p$ y $q$ son tales que si $a$ y $b$ son raíces de $x^2 - kx + l = 0$ entonces $a +\frac1b$ y $b + \frac1a$ son las raíces de $x^2 -px + q = 0$ . ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $q$?