Los números complejos $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ tienen la propiedad de que $\alpha^k +\beta^k +\gamma^k$ es un entero para cada número natural $k$ . Demostrar que el polinomio \[(x-\alpha)(x-\beta )(x-\gamma )\] tiene coeficientes enteros.

Encontrar el número de todos los pares no ordenados $\{A,B \}$ de subconjuntos de un conjunto de $8$ elementos, tal que $A\cap B \neq \emptyset$ y $\left |A \right | \neq \left |B \right |$ .

Encontrar todas las funciones $f \colon \mathbb{R_{+}}\to \mathbb{R_{+}}$ que satisfacen : \[f ( f (x)-x) = 2x\] para todo $x > 0$ .

Si en $ \triangle ABC$ , los triángulos $ AEB$ y $ AFC$ se construyen externamente tales que $ \angle AEB=2 \alpha$ , $ \angle AFB= 2 \beta$ . $ AE=EB$ , $ AF=FC$ . Construido externamente sobre $ BC$ está el triángulo $ BDC$ con $ \angle DBC= \beta$ , $ \angle BCD= \alpha$ . Demostrar que 1. $ DA$ es perpendicular a $ EF$ . 2. Si $ T$ es la proyección de $ D$ en $ BC$ , entonces demostrar que $ \frac{DA}{EF}= 2 \frac{DT}{BC}$ .

Para cualquier entero positivo $n$ , demostrar que existe un polinomio $P(x)$ de grado $n$ con coeficientes enteros tal que $P(0),P(1), \ldots, P(n)$ son todas potencias distintas de $2$ .

En un triángulo $ABC$ con incírculo $\omega$ e incentro $I$ , los segmentos $AI$ , $BI$ , $CI$ cortan a $\omega$ en $D$ , $E$ , $F$ , respectivamente. Los rayos $AI$ , $BI$ , $CI$ se encuentran con los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ en $L$ , $M$ , $N$ respectivamente. Demostrar que: \[AL+BM+CN \leq 3(AD+BE+CF)\] ¿Cuándo ocurre la igualdad?

Sea $Q(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes enteros. Suponga que un primo $p$ divide a $Q(x_j)$ para $j = 1$ , $2$ , $3$ , $4$ , donde $x_1 , x_2 , x_3 , x_4$ son enteros distintos del conjunto $\{0,1,\cdots, p-1\}$ . Demostrar que $p$ divide a todos los coeficientes de $Q(x)$ .

Sean $x$ , $y$ , $z>0$ . Demostrar que si $xyz\geq xy+yz+zx$ , entonces $xyz \geq 3(x+\ny+z)$ .

Dos símbolos $A$ y $B$ obedecen la regla $ABBB = B$ . Dado una palabra $x_1x_2\ldots x_{3n+1}$ que consiste en $n$ letras $A$ y $2n+1$ letras $B$ , demostrar que existe una permutación cíclica única de esta palabra que se reduce a $B$ .

Sea $x_1$ un entero positivo dado. Una secuencia ${x_n}_{n\geq 1}$ de enteros positivos es tal que $x_n$, para $n \geq 2$, se obtiene de $x_{n-1}$ añadiendo algún dígito distinto de cero de $x_{n-1}$. Pruebe que a) la secuencia contiene un término par; b) la secuencia contiene infinitos términos pares.