Sea $ABC$ un triángulo con $AB = AC$ y $\angle BAC = 30^{\circ}$, Sea $A'$ la reflexión de $A$ en la línea $BC$; $B'$ la reflexión de $B$ en la línea $CA$; $C'$ la reflexión de $C$ en la línea $AB$, Demuestra que $A'B'C'$ es un triángulo equilátero.

Demuestra que para cada número natural $n > 1$ \[ \frac{1}{n+1} \left( 1 + \frac{1}{3} +\frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{2n-1} \right) > \frac{1}{n} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2n} \right) . \]

Sea $n$ un entero positivo y $p_1, p_2, p_3, \ldots p_n$ sean $n$ números primos todos mayores que $5$ tales que $6$ divide a $p_1 ^2 + p_2 ^2 + p_3 ^2 + \cdots p_n ^2$. Demuestra que $6$ divide a $n$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo en el que $\angle BAC = 50^{\circ}, \angle CAD = 60^{\circ}$ y $\angle BDC = 25^{\circ}$. Si $E$ es el punto de intersección de $AC$ y $BD$, encuentra $\angle AEB$.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n$ con coeficientes reales y sea $a\geq 3$ . Demostrar que \[\max_{0\leq j \leq n+1}\left | a^j-P(j) \right |\geq 1\]

Una secuencia estrictamente creciente $(a_n)$ tiene la propiedad de que $\gcd(a_m,a_n) = a_{\gcd(m,n)}$ para todo $m,n\in \mathbb{N}$ . Suponga que $k$ es el entero positivo más pequeño para el cual existen enteros positivos $r < k < s$ tales que $a_k^2 = a_ra_s$ . Demostrar que $r | k$ y $k | s$ .

Sea $ABCD$ un rectángulo, y sea $\omega$ un arco circular que pasa por los puntos $A$ y $C$ . Sea $\omega_{1}$ el círculo tangente a las líneas $CD$ y $DA$ y al círculo $\omega$ , y que se encuentra completamente dentro del rectángulo $ABCD$ . De manera similar, sea $\omega_{2}$ el círculo tangente a las líneas $AB$ y $BC$ y al círculo $\omega$ , y que se encuentra completamente dentro del rectángulo $ABCD$ . Denotemos por $r_{1}$ y $r_{2}$ los radios de los círculos $\omega_{1}$ y $\omega_{2}$ , respectivamente, y por $r$ el inradio del triángulo $ABC$ . (a) Demostrar que $r_{1}+r_{2}=2r$ . (b) Demostrar que una de las dos tangentes internas comunes de los dos círculos $\omega_{1}$ y $\omega_{2}$ es paralela a la línea $AC$ y tiene la longitud $\left|AB-AC\right|$ .

Cada vértice de una cuadrícula de $m\times n$ se colorea de azul, verde o rojo de tal manera que todos los vértices de la frontera son rojos. Decimos que un cuadrado unitario de la cuadrícula está coloreado correctamente si: $(i)$ los tres colores aparecen en los vértices del cuadrado, y $(ii)$ un lado del cuadrado tiene los puntos extremos del mismo color. Demostrar que el número de cuadrados coloreados correctamente es par.

Los puntos $B = B_1 , B_2, \cdots , B_n , B_{n+1} = C$ se eligen en el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ en ese orden. Sea $r_j$ el inradio del triángulo $AB_jB_{j+1}$ para $j = 1, \cdots, n$ , y $r$ el inradio de $\triangle ABC$ . Demostrar que existe una constante $\lambda$ independiente de $n$ tal que : \[(\lambda -r_1)(\lambda -r_2)\cdots (\lambda -r_n) =\lambda^{n-1}(\lambda -r)\]

Sea $p > 3$ un primo. Para cada $k\in \{1,2, \ldots , p-1\}$ , defina $x_k$ como el entero único en $\{1, \ldots, p-1\}$ tal que $kx_k\equiv 1 \pmod{p}$ y establezca $kx_k = 1+ pn_k$ . Demostrar que : \[\sum_{k=1}^{p-1}kn_k \equiv \frac{p-1}{2} \pmod{p}\]