En un triángulo $ABC$ , sea $I$ su incentro. Se eligen puntos $D, E, F$ en los segmentos $BC, CA, AB$ , respectivamente, tales que $BD + BF = AC$ y $CD + CE = AB$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AEF, BFD, CDE$ intersecan las líneas $AI, BI, CI$ , respectivamente, en los puntos $K, L, M$ (diferentes de $A, B, C$ ) , respectivamente. Prueba que $K, L, M, I$ son concíclicos.

Para un entero positivo $n$ , una partición impar amigable con la suma de $n$ es una secuencia $(a_1, a_2, \ldots, a_k)$ de enteros positivos impares con $a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_k$ y $a_1 + a_2 + \cdots + a_k = n$ tal que para todos los enteros positivos $m \le n$ , $m$ puede escribirse de forma única como una subsuma $m = a_{i_1} + a_{i_2} + \cdots + a_{i_r}$ . (Dos subsums $a_{i_1} + a_{i_2} + \cdots + a_{i_r}$ y $a_{j_1} + a_{j_2} + \cdots + a_{j_s}$ con $i_1 < i_2 < \cdots < i_r$ y $j_1 < j_2 < \cdots < j_s$ se consideran iguales si $r = s$ y $a_{i_l} = a_{j_l}$ para $1 \le l \le r$ . ) Por ejemplo, $(1, 1, 3, 3)$ es una partición impar amigable con la suma de $8$ . Encuentra el número de particiones impares amigables con la suma de $9999$ .

Los jugadores $A$ y $B$ juegan un juego con $N \geq 2012$ monedas y $2012$ cajas dispuestas alrededor de un círculo. Inicialmente $A$ distribuye las monedas entre las cajas de modo que haya al menos $1$ moneda en cada caja. Entonces los dos hacen movimientos en el orden $B,A,B,A,\ldots $ según las siguientes reglas: (a) En cada movimiento suyo $B$ pasa $1$ moneda de cada caja a una caja adyacente. (b) En cada movimiento suyo $A$ elige varias monedas que no estuvieron involucradas en el movimiento anterior de $B$ y están en diferentes cajas. Ella pasa cada moneda a una caja adyacente. El objetivo de la jugadora $A$ es asegurar al menos $1$ moneda en cada caja después de cada movimiento suyo, independientemente de cómo juegue $B$ y cuántos movimientos se hagan. Encuentra el menor $N$ que le permite tener éxito.

Un entero $a$ se llama amigable si la ecuación $(m^2+n)(n^2+m)=a(m-n)^3$ tiene una solución sobre los enteros positivos. a) Prueba que hay al menos $500$ enteros amigables en el conjunto $\{ 1,2,\ldots ,2012\}$ . b) Decide si $a=2$ es amigable.

Encuentra todas las funciones $f$ del conjunto de los números reales en sí mismo que satisfacen \[ f(x(1+y)) = f(x)(1 + f(y)) \] para todos los números reales $x, y$ .

Para un entero positivo $n$ , un polinomio cúbico $p(x)$ se dice que es $n$ - bueno si existen $n$ enteros distintos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ tales que todas las raíces del polinomio $p(x) + a_i = 0$ son enteros para $1 \le i \le n$ . Dado un entero positivo $n$ prueba que existe un polinomio cúbico $n$ - bueno.

En un triángulo $ABC$ , con $\widehat{A} > 90^\circ$ , sean $O$ y $H$ su circuncentro y ortocentro, respectivamente. Sea $K$ la reflexión de $H$ con respecto a $A$ . Prueba que $K, O$ y $C$ son colineales si y sólo si $\widehat{A} - \widehat{B} = 90^\circ$ .

Sea $n \ge 2$ un entero. Hay $n$ cuentas numeradas $1, 2, \ldots, n$ . Dos collares hechos con algunas de estas cuentas se consideran iguales si podemos obtener uno girando el otro (sin permitir voltear). Por ejemplo, con $n \ge 5$ , el collar con cuatro cuentas $1, 5, 3, 2$ en el sentido de las agujas del reloj es el mismo que el que tiene $5, 3, 2, 1$ en el sentido de las agujas del reloj, pero es diferente del que tiene $1, 2, 3, 5$ en el sentido de las agujas del reloj. Denotamos por $D_0(n)$ (respectivamente $D_1(n)$ ) el número de formas en que podemos usar todas las cuentas para hacer un número par (resp. un número impar) de collares, cada uno de longitud al menos $3$ . Prueba que $n - 1$ divide a $D_1(n) - D_0(n)$ .

Un marcador se coloca en el origen de una red entera. Calvin y Hobbes juegan el siguiente juego. Calvin comienza el juego y cada uno de ellos toma turnos alternativamente. En cada turno, uno puede elegir dos enteros (no necesariamente distintos) $a, b$ , ninguno de los cuales fue elegido antes por ningún jugador y mover el marcador $a$ unidades en la dirección horizontal y $b$ unidades en la dirección vertical. Hobbes gana si el marcador está de vuelta en el origen en cualquier momento después del primer turno. Prueba o refuta que Calvin puede evitar que Hobbes gane. Nota: Un movimiento en la dirección horizontal por una cantidad positiva será hacia la derecha, y por una cantidad negativa será hacia la izquierda (y direcciones similares en el caso vertical).

En un triángulo $ABC$ con $B = 90^\circ$ , $D$ es un punto en el segmento $BC$ tal que los inradios de los triángulos $ABD$ y $ADC$ son iguales. Si $\widehat{ADB} = \varphi$ entonces prueba que $\tan^2 (\varphi/2) = \tan (C/2)$ .