Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $a + b + c = 1$ . Si $n$ es un entero positivo entonces prueba que \[ \frac{(3a)^n}{(b + 1)(c + 1)} + \frac{(3b)^n}{(c + 1)(a + 1)} + \frac{(3c)^n}{(a + 1)(b + 1)} \ge \frac{27}{16} \,. \]

Definimos una operación $\oplus$ en el conjunto $\{0, 1\}$ por \[ 0 \oplus 0 = 0 \,, 0 \oplus 1 = 1 \,, 1 \oplus 0 = 1 \,, 1 \oplus 1 = 0 \,.\] Para dos números naturales $a$ y $b$ , que se escriben en base $2$ como $a = (a_1a_2 \ldots a_k)_2$ y $b = (b_1b_2 \ldots b_k)_2$ (posiblemente con ceros iniciales), definimos $a \oplus b = c$ donde $c$ escrito en base $2$ es $(c_1c_2 \ldots c_k)_2$ con $c_i = a_i \oplus b_i$ , para $1 \le i \le k$ . Por ejemplo, tenemos $7 \oplus 3 = 4$ ya que $ 7 = (111)_2$ y $3 = (011)_2$ . Para un número natural $n$ , sea $f(n) = n \oplus \left[ n/2 \right]$ , donde $\left[ x \right]$ denota el entero más grande menor o igual que $x$ . Prueba que $f$ es una biyección en el conjunto de los números naturales.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$ . Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ , y $K, L, M, N$ los circuncentros de los triángulos $AOP, BOP$ , $COP, DOP$ , respectivamente. Prueba que $KL = MN$ .

Para un primo $p$ , un número natural $n$ y un entero $a$ , denotamos por $S_n(a,p)$ el exponente de $p$ en la factorización prima de $a^{p^n} - 1$ . Por ejemplo, $S_1(4,3) = 2$ y $S_2(6,2) = 0$ . Halla todos los pares $(n,p)$ tales que $S_n(2013,p) = 100$ .

(a) Demuestre que si $n$ es un entero tal que $n \geq 4011^2$ entonces existe un entero $l$ tal que \[ n < l^2 < (1 + \frac{1}{{2005}})n . \] (b) Encuentre el entero positivo más pequeño $M$ para el cual siempre que un entero $n$ sea tal que $n \geq M$ entonces existe un entero $l$ tal que \[ n < l^2 < (1 + \frac{1}{{2005}})n . \]

En un cuadrilátero cíclico $ABCD$, $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $\angle ABC = 120^\circ$ y $\angle ABD = 30^\circ$. Demuestre que (1) $c \ge a + b$; (2) $|\sqrt{c + a} - \sqrt{c + b} | = \sqrt{c - a - b}$.

Se eligen aleatoriamente 46 cuadrados de un tablero de ajedrez de $9 \times 9$ y se colorean de rojo. Demuestre que existe un bloque de $2\times 2$ de 4 cuadrados de los cuales al menos tres están coloreados de rojo.

Sea $X=\mathbb{Z}^3$ denote el conjunto de todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros. Defina $f: X \to X$ por \[ f(a,b,c) = (a+b+c, ab+bc+ca, abc) . \] Encuentre todas las ternas $(a,b,c)$ tales que \[ f(f(a,b,c)) = (a,b,c) . \]

Demuestre que para cada entero positivo $n$ existe un par ordenado único $(a,b)$ de enteros positivos tal que \[ n = \frac{1}{2}(a + b - 1)(a + b - 2) + a . \]

En un triángulo no equilátero $ABC$, los lados $a,b,c$ forman una progresión aritmética. Sea $I$ el incentro y $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Demuestre que (1) $IO$ es perpendicular a $BI$; (2) Si $BI$ se encuentra con $AC$ en $K$, y $D$, $E$ son los puntos medios de $BC$, $BA$ respectivamente, entonces $I$ es el circuncentro del triángulo $DKE$.