Para un entero positivo $n$ , una partición impar amigable con la suma de $n$ es una secuencia $(a_1, a_2, \ldots, a_k)$ de enteros positivos impares con $a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_k$ y $a_1 + a_2 + \cdots + a_k = n$ tal que para todos los enteros positivos $m \le n$ , $m$ puede escribirse de forma única como una subsuma $m = a_{i_1} + a_{i_2} + \cdots + a_{i_r}$ . (Dos subsums $a_{i_1} + a_{i_2} + \cdots + a_{i_r}$ y $a_{j_1} + a_{j_2} + \cdots + a_{j_s}$ con $i_1 < i_2 < \cdots < i_r$ y $j_1 < j_2 < \cdots < j_s$ se consideran iguales si $r = s$ y $a_{i_l} = a_{j_l}$ para $1 \le l \le r$ . ) Por ejemplo, $(1, 1, 3, 3)$ es una partición impar amigable con la suma de $8$ . Encuentra el número de particiones impares amigables con la suma de $9999$ .