La figura siguiente muestra una red hexagonal formada por muchos triángulos equiláteros congruentes. Por turnos, Gabriel y Arnaldo juegan de la siguiente manera. En su turno, el jugador colorea un segmento, incluyendo los puntos extremos, siguiendo estas tres reglas: - Los puntos finales deben coincidir con los vértices de los triángulos equiláteros marcados. -El segmento debe estar formado por uno o varios de los lados de los triángulos. -El segmento no puede contener ningún punto (puntos finales incluidos) de un segmento previamente coloreado. Gabriel juega primero, y el jugador que no puede hacer un movimiento legal pierde. Encuentra una estrategia ganadora y descríbela.

$ABC$ es un triángulo rectángulo, con $\angle ABC = 90^{\circ}$. $B'$ es la reflexión de $B$ sobre $AC$. $M$ es el punto medio de $AC$. Elegimos $D$ sobre $\overline{BM}$, tal que $BD = AC$. Demostrar que $B'C$ es la bisectriz de $\angle MB'D$. NOTA: Una condición importante que no se menciona en el problema original es $AB\lt BC$. En caso contrario, $\angle MB'D$ no está definido o en otras palabras, $B'C$ es la bisectriz externa.

Llamamos a un par $(a,b)$ de enteros positivos, $a<391$, pupusa si \[\text{mcm}(a,b)>\text{mcm}(a,391) \] Encuentra el valor mínimo posible de $b$, entre todas las parejas pupusa.

La rana Tita se sienta en la recta numérica. Inicialmente está en el número entero $k>1$. Si está sentada en el número $n$, salta al número $f(n)+g(n)$, donde $f(n)$ y $g(n)$ son, respectivamente, los números primos positivos más grandes y más pequeños que dividen a $n$. Encuentra todos los valores de $k$ de manera que Tita pueda saltar a infinitos números enteros distintos.

El número $3$ está escrito en un tablero. Ana y Bernardo juegan por turnos, empezando por Ana, al siguiente juego. Si el número escrito en el tablero es $n$, el jugador en su turno debe sustituirlo por un número entero $m$ coprimo de $n$ y tal que $n\lt m\lt n^2$. El primer jugador que alcance un número mayor o igual que $2016$ pierde. Determina cuál de los jugadores tiene una estrategia ganadora y describirla.

El polinomio $Q(x)=x^3-21x+35$ tiene tres raíces reales diferentes. Encuentra números reales $a$ y $b$ tales que el polinomio $P(x)=x^2+ax+b$ permute cíclicamente las raíces de $Q$, es decir, si $r$, $s$ y $t$ son las raíces de $Q$ (en algún orden) entonces $P(r)=s$, $P(s)=t$ y $P(t)=r$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $\Gamma$ su circunferencia y $M$ el punto medio de $BC$. Sea $N$ un punto del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contenga a $A$ tal que $\angle NAC= \angle BAM$. Sea $R$ el punto medio de $AM$, $S$ el punto medio de $AN$ y $T$ el pie de la altitud que pasa por $A$. Demuestra que $R$, $S$ y $T$ son colineales.

Decimos que un número es irie si se puede escribir de la forma $1+\frac{1}{k}$ para algún entero positivo $k$. Demostrar que todo número entero $n \geq 2$ puede escribirse como el producto de $r$ números irie distintos para todo número entero $r \geq n-1$.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con incentro $I$ y circuncírculo $\Gamma$. Sean $M=BI\cap \Gamma$ y $N=CI\cap \Gamma$, la recta paralela a $MN$ por $I$ corta a $AB$, $AC$ en $P$ y $Q$. Demuestra que el circunradio de $\odot (BNP)$ y $\odot (CMQ)$ son iguales.

Queremos escribir $n$ números reales distintos $(n\geq 3)$ en la circunferencia de un círculo de forma que cada número sea igual al producto de sus vecinos inmediatos a la izquierda y a la derecha. Determinar todos los valores de $n$ para los que esto es posible.