Encuentra el número de soluciones enteras de $||x| - 2023| < 2020$.

Un vendedor de paraguas tiene paraguas de $7$ colores diferentes. Tiene un total de $2023$ paraguas en stock, pero debido al embalaje de plástico, los colores no son visibles. ¿Cuál es el número mínimo de paraguas que uno debe comprar para asegurarse de que al menos $23$ paraguas sean del mismo color?

¿Cuál es el término número $288$ de la secuencia $a,b,b,c,c,c,d,d,d,d,e,e,e,e,e,f,f,f,f,f,f,...?$

¿Para qué valores enteros positivos de $n$ se puede dividir el conjunto $\{ 1, 2, 3, \ldots, 4n \}$ en $n$ subconjuntos disjuntos de $4$ elementos $\{ a,b,c,d \}$ tal que en cada uno de estos conjuntos $a = \dfrac{b +c +d} {3}$ .

Dado cuatro números reales positivos distintos, demostrar que se pueden elegir tres números $A,B,C$ de entre ellos, tal que las tres ecuaciones cuadráticas\n\begin{eqnarray*}\nBx^2 + x + C &=& 0\\\nCx^2 + x + A &=& 0 \\\nAx^2 + x +B &=& 0\n\end{eqnarray*}\nSólo tienen raíces reales, o las tres ecuaciones sólo tienen raíces imaginarias.\n\nSean los cuatro números $a, b, c, d$ con $0<a\leq b \leq c \leq d$ . Si $bc\leq\dfrac{1}{4}$ entonces $ab$ y $ac$ son también no más de $\dfrac{1}{4}$ . De lo contrario $bc>\dfrac{1}{4}$ y así $bd$ y $cd$ son también mayores que $\dfrac{1}{4}$ . Lo primero implica que $1-4ab$ , $1-4ac$ , $1-4bc$ son todos no negativos y por lo tanto estableciendo $A=a$ , $B=b$ , $C=c$ da todas las ecuaciones raíces reales.\nLo segundo implica que $1-4bc$ , $1-4bd$ , $1-4cd$ son todos negativos y por lo tanto estableciendo $A=b$ , $B=c$ , $C=d$ da todas las ecuaciones raíces negativas.

Sean $\Gamma$ y $\Gamma'$ dos círculos concéntricos. Sean $ABC$ y $A'B'C'$ dos triángulos equiláteros inscritos en $\Gamma$ y $\Gamma'$ respectivamente. Si $P$ y $P'$ son dos puntos cualesquiera en $\Gamma$ y $\Gamma'$ respectivamente, demostrar que\n\[ P'A^2 + P'B^2 + P'C^2 = A'P^2 + B'P^2 + C'P^2. \]

Demostrar que no existen polinomios $p(x)$ y $q(x)$ cada uno con coeficientes enteros y de grado mayor o igual que 1 tal que\n\[ p(x)q(x) = x^5 +2x +1 . \]\n\nUna solución lejos de ser inteligente, pero que funciona, puede ser: Dado que $P(x) = x^5 +2x + 1$ no tiene raíz entera (que debería ser $\pm 1$ ) tendríamos, wlog, $degree(p) = 2$ y $degree(q) = 3$ $p$ y $q$ pueden ser escritas (tomando $-p$ y $-q$ si es necesario) : $\left ({x}^{2}+bx+c\right )$ y $\left ({x}^{3}+m{x}^{2}+nx+o\right )$ Expandiendo $\left ({x}^{2}+bx+c\right )\left ({x}^{3}+m{x}^{2}+nx+o\right )$ da $c = o = \pm 1$ , $m = -b$ , $m^2-n = -c$ , $m-n = 2$ lo cual no tiene solución.

En un pueblo $1998$ personas se ofrecieron como voluntarios para limpiar, para una feria, un campo rectangular con lados enteros y perímetro igual a $3996$ pies. Para este propósito, el campo se dividió en $1998$ partes iguales. Si cada parte tenía un área entera, hallar la longitud y la anchura del campo.\n\nLas condiciones del problema pueden traducirse en ecuaciones para la longitud y la anchura: \n\[ x+y=1998\quad xy=1998k \]\npara algún entero positivo k, y esto se traduce en una ecuación de segundo grado\n\[ z^2-1998z+1998k=0 \]\ncuyas soluciones son los valores x,y\n\[ z=999\pm\sqrt{999^2-1998k} \]\nasí que la expresión bajo el radical debe ser un cuadrado perfecto\n\[ 999^2-1998k=w^2 \]\ny operando buscamos un número w tal que\n\[ 1998|(999-w)(999-w) \]\nUsando la descomposición $1998=2\times 999=2\times 3^3\times 37$ se encuentra fácilmente que $w=333$ y las dimensiones del rectángulo son $1332$ y $666$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo en el que $D,E,F$ son puntos en $BC,CA,AB$ respectivamente tales que $AD \perp BC$ ; $AE = BC$ ; y $CF$ biseca a $\angle C$ internamente. Suponga que $CF$ se encuentra con $AD$ y $DE$ en $M$ y $N$ respectivamente. Si $FM$ $= 2$ , $MN =1$ , $NC=3$ , hallar el perímetro de $\Delta ABC$ .

Para números reales positivos $x$ e $y$, define su media especial como el promedio de sus medias aritmética y geométrica. Encontrar el número total de pares de enteros $(x, y)$, con $x \le y$, del conjunto de números $\{1,2,...,2016\}$, tales que la media especial de $x$ e $y$ es un cuadrado perfecto.