Sea $n$ un entero positivo. Para una permutación $a_1,a_2,\ldots, a_n$, de los números $1,2,\ldots,n$, definimos $$ b_k = \min_{1 \leq i \leq k} a_i + \max_{1 \leq j \leq k} a_j$$ para cada $k=1,2,\ldots, n$. Decimos que la permutación $a_1,a_2,\ldots, a_n$, es guadiana si la sucesión $b_1,b_2,\ldots, b_n$, no tiene dos elementos consecutivos iguales. ¿Cuántas permutaciones guadianas existen?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita es $\Gamma$. Las tangentes a $\Gamma$ por $B$ y $C$ se cortan en $P$. Sobre el arco $AC$ que no contiene a $B$ se toma un punto $M$, distinto de $A$ y $C$, tal que la recta $AM$ corta a la recta $BC$ en $K$. Sean $R$ el punto simétrico de $P$ con respecto a la recta $AM$ y $Q$ el punto de intersección de las rectas $RA$ y $PM$. Sean $J$ el punto medio de $BC$ y $L$ el punto donde la recta paralela a $PR$ por $A$ corta a la recta $PJ$. Demuestra que los puntos $L$, $J$, $A$, $Q$ y $K$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>AB>BC$. Las mediatrices de $AC$ y $AB$ cortan a la recta $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ puntos distintos de $A$ sobre las rectas $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que $AB=BP$ y $AC=CQ$, y sea $K$ la intersección de las rectas $EP$ y $DQ$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Demuestra que $\angle DKA=\angle EKM$.

Consideramos las configuraciones de números enteros: $a_{1,1}$ $a_{2,1},a_{2,2}$ $a_{3,1}, a_{3,2}, a_{3,3}$ $\vdots$ $a_{2017,1}, a_{2017, 2}, \cdots, a_{2017,2017}$ con $a_{i,j}=a_{i+1,j}+a_{i+1,j+1}$ para todos los $i,j$ tales que $1\leq j\leq i\leq 2016$. Determina la maxima cantidad de enteros impares que puede tener una de estas configuraciones.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle BAC=90^\circ$ y $BA=CA$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Un punto $D\neq A$ es elegido en la semicircunferencia de diámetro $BC$ que contiene a $A$. La circunferencia circunscrita al triángulo $DAM$ intersecta a las rectas $DB$ y $BC$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Demostrar que $BE=CF$.

Sean $ABC$ un triángulo rectángulo y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $D$ un punto en el segmento $BC$, distinto de $B$ y de $C$, y sea $M$ el punto medio de $AD$. La recta perpendicular a $AB$ que pasa por $D$ corta a $AB$ en $E$ y a $\Gamma$ en $F$, con el punto $D$ entre $E$ y $F$. Las rectas $FC$ y $EM$ se cortan en el punto $X$. Si $\angle DAE=\angle AFE$, demuestra que la recta $AX$ es tangente a $\Gamma$.

Un conjunto $X$ de enteros positivos es ibérico si $X$ es un subconjunto de $\{2,3,4,\ldots, 2018\}$, y siempre que $m$ y $n$ pertenezcan a $X$, entonces el $mcd(m,n)$ pertenece también a $X$. Un conjunto ibérico es olímpico si no está contenido en ningún otro conjunto ibérico. Encontrar todos los conjuntos ibéricos olímpicos que contienen el número $33$.

Una recta $r$ contiene los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ en ese orden. Sea $P$ un punto fuera de $r$ tal que $\angle APB=\angle CPD$. Pruebe que la bisectriz de $\angle APD$ corta a $r$ en un punto $G$ tal que $$\frac{1}{GA}+\frac{1}{GC}=\frac{1}{GB}+\frac{1}{GD}$$

Sean $\alpha$ y $\beta$ raíces del polinomio $x^2-qx+1$, donde $q$ es un número racional mayor que $2$. Se define $s_1=\alpha+\beta$, $t_1=1$ y, para cada entero $n\geq 2$, $$s_n=\alpha^n+\beta^n, t_n=s_{n-1}+2s_{n-2}+\cdots+(n-1)s_1+n$$ Demuestre que, para todo $n$ impar, $t_n$ es el cuadrado de un número racional.

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>AB$ y $O$ su circuncentro. Sea $D$ un punto en el segmento $BC$ tal que $O$ está en el interior del triángulo $ADC$ y $\angle DAO+\angle ADB=\angle ADC$. Llamamos $P$ y $Q$ a los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$, respectivamente, y $M$ al punto de intersección de las rectas $BP$ y $CQ$. Demuestra que las rectas $AM$, $PQ$ y $BC$ son concurrentes.