Sea $ABC$ un triangulo con $\omega_A$ su excirculo opuesto a $A$. $\omega_A$ es tangente a $AB$ en $P$ y $AC$ en $Q$. El excirculo opuesto a $B$, $\omega_B$, es tangente a $BA$ en $M$ y $BC$ en $N$. Sea $K$ el pie de la perpendicular desde $C$ a $MN$ y sea $L$ el pie de la perpendicular de $C$ a $PQ$. Demuestra que el cuadrilatero $MKLP$ es ciclico.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+$ tales que se cumplen las siguientes condiciones: (i) $f(n!)=f(n)!$ para todo entero positivo $n$, (ii) si $m,n$ son enteros positivos distintos, entonces $m-n\mid f(m)-f(n)$.

Considere un polígono regular de $n\geq 4$ lados, y sea $V$ un subconjunto de $r$ vértices del polígono. Demuestre que si $r(r-3)\geq n$, entonces existen al menos dos triángulos congruentes cuyos vértices pertenecen a $V$.

Sea $S$ un conjunto finito de enteros positivos donde para todo elemento $x\in S$ se cumple que todos los divisores de $x$ tambien estan en $S$. Un subconjunto $T\subset S$ es bueno si para todo $x,y\in T$ y $x<y$ se cumple que $\frac{y}{x}$ es una potencia de un primo. Un subconjunto $T\subset S$ es malo si nunca sucede que para $x,y\in T$ $\frac{x}{y}$ es una potencia de un primo. Un conjunto con exactamente un elemento se considera bueno y malo. Sea $k$ el tamaño del subconjunto bueno mas grande de $S$. Demuestra que $k$ tambien es el número mas pequeño tal que $S$ es la union de $k$ subconjuntos malos que sean disjuntos por parejas.

Sea $n$ un entero posiivo. Sea $P_n=\{2^n,2^{n-1}\cdot 3, 2^{n-2}\cdot 3^2,\ldots, 3^n\}$. Para cada subconjunto $X\subset P_n$ decimos que $S_X$ es la suma de todos los elementos de $X$. Cuando $X=\emptyset$, $S_\emptyset=0$. Sea $0\leq y\leq 3^{n+1}-2^{n+1}$ un numero real, demuestra que existe un subconjunto $Y\subset P_n$ tal que $0\leq y-S_Y<2^n$.

Sea $P=\{p_1,p_2,\ldots, p_{10}\}$ un conjunto de $10$ primos distintos y sea $A$ el conjunto de todos los enteros mayores que $1$ tales que en su descomposición en factores primos aparecen únicamente primos de $P$. Los elementos de $A$ se colorean de tal forma que: a. cada elemento de $P$ tiene un color distinto, b. si $m,n\in A$, entonces $mn$ tiene el mismo color de $m$ o $n$, c. Para cualquier par de colores distintos $R$ y $S$, no existen $j,k,m,n\in A$ (no necesariamente distintos), con $j,k$ de color $R$ y $m,n$ de color $S$, tales que $j$ divide a $m$ y $n$ divide a $k$, simultáneamente. Demuestre que existe un primo de $P$ tal que todos sus múltiplos en $A$ tienen el mismo color.

Sea $ABCDEF$ un hexagono convexo de area $1$, con lados opestos paralelos. Las lineas $AB,CD$ y $EF$ forman los lados de un triangulo. Similarmente los lados $BC,DE$ y $FA$ forman los lados de otro triangulo. Demuestra que almenos uno de estos dos triangulos tiene area mayor o igual a $\frac{3}{2}$.

Para un conjunto finito $C$ de enteros, se define $S(C)$ como la suma de los elementos de $C$. Encuentre dos conjuntos no vacíos $A$ y $B$ cuya intersección es vacía, cuya unión es el conjunto $\{1,2,\ldots, 2021\}$ y tales que el producto $S(A)S(B)$ es un cuadrado perfecto.

Sea $ABC$ un triangulo con $\angle ABC>90$ y con circuncirculo $\Gamma$ done $O$ es el centro de $\Gamma$. Sea $D$ el punto de interseccion de $AB$ con la perpendicular a $AC$ en $C$. Sea $\ell$ la linea por $D$ perpendicular a $AO$. Sea $E$ la interseccion de $\ell$ con $AC$, y sea $F$ el punto de interseccion de $\Gamma$ con $\ell$ que se encuentra entre $D$ y $E$. Demuestra que los circuncirculos de $BFE$ y $CFD$ son tangentes en $F$.

Demuestre que existe un conjunto $C$ de $2020$ enteros positivos y distintos que cumple simultáneamente las siguientes propiedades: - Cuando se calcula el máximo común divisor de cada dos elementos de $C$, se obtiene una lista de números todos distintos. - Cuando se calcula el mínimo común múltiplo de cada dos elementos de $C$, se obtiene una lista de números todos distintos.