Dados dos círculos distintos que se tocan internamente, muestre cómo construir un triángulo con el círculo interior como su incírculo y el círculo exterior como su círculo de los nueve puntos.

Determine el número de $n$ - tuplas de enteros $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ tales que $|x_i| \le 10$ para cada $1\le i \le n$ y $|x_i-x_j| \le 10$ para $1 \le i,j \le n$.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2=3abc$. Pruebe que \[\frac{a}{b^2c^2}+\frac{b}{c^2a^2}+\frac{c}{a^2b^2} \geq \frac{9}{a+b+c}\]

Sea $O$ el circuncentro y $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$. Demuestre que existen puntos $D$, $E$ y $F$ en los lados $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente tales que \[ OD + DH = OE + EH = OF + FH\] y las líneas $AD$, $BE$ y $CF$ son concurrentes.

Sea $X=\{2^m3^n|0 \le m, \ n \le 9 \}$. ¿Cuántas cuadráticas hay de la forma $ax^2+2bx+c$, con raíces iguales, y tales que $a,b,c$ son elementos distintos de $X$?

Demuestre que existe un conjunto de $2002$ enteros positivos consecutivos que contiene exactamente $150$ primos. (Puede usar el hecho de que hay $168$ primos menores que $1000$)

Sean $A,B$ y $C$ tres puntos en una línea con $B$ entre $A$ y $C$. Sean $\Gamma_1,\Gamma_2, \Gamma_3$ semicírculos, todos en el mismo lado de $AC$ y con $AC,AB,BC$ como diámetros, respectivamente. Sea $l$ la línea perpendicular a $AC$ que pasa por $B$. Sea $\Gamma$ el círculo que es tangente a la línea $l$, tangente a $\Gamma_1$ internamente y tangente a $\Gamma_3$ externamente. Sea $D$ el punto de contacto de $\Gamma$ y $\Gamma_3$. El diámetro de $\Gamma$ a través de $D$ se encuentra con $l$ en $E$. Demuestre que $AB=DE$.

Sean $x, y, z$ números reales positivos tales que $2(xy + yz + zx) = xyz$ . Demuestre que $\frac{1}{(x-2)(y-2)(z-2)} + \frac{8}{(x+2)(y+2)(z+2)} \le \frac{1}{32}$

En la extensión de la cuerda $AB$ de un círculo con centro en $O$ se toma un punto $X$ y se dibujan tangentes $XC$ y $XD$ al círculo desde él con $C$ y $D$ que se encuentran en el círculo, sea $E$ el punto medio del segmento de línea $CD$ . Si $\angle OEB = 140^o$ entonces determine con prueba la magnitud de $\angle AOB$ .

Un programa de computadora generó $175$ enteros positivos al azar, ninguno de los cuales tenía un divisor primo mayor que $10.$ Demuestre que hay tres números entre ellos cuyo producto es el cubo de un entero.