Sean $a,b$ y $n$ enteros positivos con $a>b$ tales que: i. $a^{2021}\mid n$, ii. $b^{2021}\mid n$, iii. $2022 \mid a-b$. Demuestra que hay un subconjunto $T$ de los divisores positivos de $n$ tales que la suma de los numeros en $T$ es divisible entre $2022$ pero no entre $2022^2$.

Encuentra todos los enteros $n\geq 3$, tales que existe un polígono convexo de $n$ lados $A_1A_2\cdots A_n$ que tenga las siguientes características: -Todos los ángulos internos de $A_1A_2\cdots A_n$ son iguales. -no todos los lados de $A_1A_2\cdots A_n$ son iguales, y -existe un triángulo $T$ y un punto $O$ en el interior de $A_1A_2\cdots A_n$ tal que los $n$ triángulos $OA_1A_2, OA_2A_3, \cdots, OA_nA_1$ son todos semejantes a $T$.

Sea $a_1=2$ y para cada entero positivo $n$ se define a $a_{n+1}$ como el menor entero positivo mayor a $a_n$ tal que ademas tiene mas divisores que $a_n$. Demuestra que solo puede suceder $2a_{n+1}=3a_n$ para un numero finito de valores de $n$.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(x,y)$ tales que: $$x^3+y^3=x^2+42xy+y^2.$$

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+$ tales que para cada entero $n$ se tiene: $$i) \sum_{k=1}^n f(k) \text{ es un cuadrado perfecto y}$$ $$ii) f(n)\mid n^3$$

Ángel tiene una bodega que tiene $100$ montones con $100$ pedazos de basura cada una. Cada mañana, Ángel hace exactamente una de los siguientes acciones: (a) Quita todos los pedazos de basura de una monton. (b) Quita un pedazo de basura de cada monton. Sin embargo, cada noche, un demonio se infiltra en su bodega y hace uno de las siguientes acciones: (i) Añade un pedazo de basura a cada monton (no vacio). (ii) Crea un nuevo monton de basura con un pedazo de basura. Cuantas mañanas necesita Ángel para garantizar que limpió toda la bodega.

Sea $q$ un numero racional positivo. Dos hormigas empiezan en el punto $X$ en el plano. En cada minuto $n$, para $n=1,2,\ldots$ las hormigas se mueven en una de las direcciones norte, sur, este u oeste, y caminan por $q^n$ metros. Despues de algun numero de minutos, las hormigas estan en el mismo punto, pero sabemos que no tomaron exactamente el mismo camino. Determina todos los valores posibles de $q$.

Alice y Bob juegan el siguiente juego. El juego empieza con varios montones de monedas. Alice empizea y en cada turno los jugadores escojen un monton de monedas con un numero par de monedas y mueven la mitad de las monedas a otro monton. El juego termina cuando un jugador no puede mover. Determina las parejas de enteros positivos $(a,b)$ tales que si el juego empieza con dos montones con $a$ y $b$ monedas, Bob tiene una estrategia ganadora.

Sea $ABC$ un triangulo escaleno con incentro $I$ y circuncirculo $\omega$, Las lineas $AI,BI,CI$ intersecan a $\omega$ en $D,E,F$ respectivamente. Las paralelas a $BC,AC,AB$ por $I$ cortan a $EF,DF,DE$ en $K,L,M$ respectivamente. Demuestra que $K,L,M$ son colineales.

El plano se divide en una cuadricula de cuadrados unitarios. Cada cuadrado unitario se colorea con uno de $1201$ colores de manera que ningun cuadrado de perimetro $100$ contiene $2$ cuadrados del mismo color. Demuestra que ningun rectangulo de tamaño $1\times 1201$ o $1201\times 1$ tiene dos cuadrados del mismo color.