Encuentra todos los valores enteros de $a$ tales que la expresión cuadrática $(x+a)(x+1991) +1$ se puede factorizar como un producto $(x+b)(x+c)$ donde $b,c$ son enteros.

Toma cualquier punto $P_1$ en el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ y dibuja la siguiente cadena de líneas: $P_1P_2$ paralelo a $AC$ ; $P_2P_3$ paralelo a $BC$ ; $P_3P_4$ paralelo a $AB$ ; $P_4P_5$ paralelo a $CA$ ; y $P_5P_6$ paralelo a $BC$ , Aquí, $P_2,P_5$ están en $AB$ ; $P_3,P_6$ están en $CA$ y $P_4$ en $BC$ > Demuestra que $P_6P_1$ es paralelo a $AB$ .

Hay dos urnas, cada una contiene un número arbitrario de bolas. Se permiten dos tipos de operaciones:\n(a) retirar simultáneamente un número igual de bolas de ambas urnas,\n(b) duplicar el número de bolas en cualquiera de ellas. Demuestra que, después de realizar estas operaciones un número finito de veces, ambas urnas pueden quedar vacías.

Un número de cuatro dígitos tiene las siguientes propiedades:\n(a) Es un cuadrado perfecto;\n(b) Sus primeros dos dígitos son iguales\n(c) Sus últimos dos dígitos son iguales. Encuentra todos los números de cuatro dígitos que cumplen estas condiciones.

Si $a,b,c,d$ son cuatro números reales positivos, entonces demuestra que \[ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} \geq 4. \]

Sea $P$ un punto interior de un triángulo $ABC$ y $AP,BP,CP$ intersecan los lados $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ respectivamente. Demuestra que \[ \frac{AP}{PD} = \frac{AF}{FB} + \frac{AE}{EC}. \] Observación: Esto se conoce como el Teorema de Van Aubel.

Dado un primo $p$, demuestre que existe un entero positivo $n$ tal que la representación decimal de $p^n$ tiene un bloque de $2002$ ceros consecutivos.

Sean $a,b,c$ números reales positivos. Pruebe que \[\frac{a}b+\frac{b}c+\frac{c}a \geq \frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}\]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $DAC,EAB$ y $FBC$ triángulos isósceles exteriores a $ABC$, con $DA=DC, EA=EB$ y $FB=FC$, tales que \[ \angle ADC = 2\angle BAC, \quad \angle BEA= 2 \angle ABC, \quad \angle CFB = 2 \angle ACB. \] Sean $D'$ la intersección de las líneas $DB$ y $EF$, sea $E'$ la intersección de $EC$ y $DF$, y sea $F'$ la intersección de $FA$ y $DE$. Encuentre, con prueba, el valor de la suma \[ \frac{DB}{DD'}+\frac{EC}{EE'}+\frac{FA}{FF'}. \]

Considere la cuadrícula cuadrada con $A=(0,0)$ y $C=(n,n)$ en sus extremos diagonales. Los caminos de $A$ a $C$ se componen de movimientos de una unidad a la derecha o una unidad hacia arriba. Sea $C_n$ (n-ésimo número catalán) el número de caminos de $A$ a $C$ que permanecen en o debajo de la diagonal $AC$. Demuestre que el número de caminos de $A$ a $C$ que cruzan $AC$ desde abajo como máximo dos veces es igual a $C_{n+2}-2C_{n+1}+C_n$