Sea $ABC$ un triángulo y $AD$ la altura sobre el lado $BC$. Tomando a $D$ como centro y a $AD$ como radio, se traza una circunferencia que corta a la recta $AB$ en $P$ , y corta a la recta $AC$ en $Q$. Muestra que el triángulo $AQP$ es semejante al triángulo $ABC$.

Sea $A_1A_2\cdots A_8$ un octágono convexo, es decir, un octágono donde todos sus ángulos internos son menores que $180^\circ$. Además los lados del octágono tienen la misma longitud y cada par de lados opuestos son paralelos. Para cada $i=1,\cdots,8$, definamos el punto $B_i$ como la intersección del segmento $A_iA_{i+4}$ con el segmento $A_{i-1}A_{i+1}$, donde $A_{j+8}=A_j$ y $B_{j+8}=B_j$, para todo número entero $j$. Muestra que para algún número $i$, de entre los números $1,2,3$ y $4$, se cumple que $$\frac{A_iA_{i+4}}{B_iB_{i+4}}\leq \frac{3}{2}$$

Las bisectrices internas de los ángulos $A,B$ y $C$ de un triángulo $ABC$ concurren en $I$ y cortan al circuncírculo de $ABC$ en $L,M,N$, respectivamente. La circunferencia de diámetro $IL$ corta al lado $BC$, en $D$ y $E$; la circunferencia de diámetro $IM$ corta al lado $CA$ en $F$ y $G$; la circunferencia de diámetro $IN$ corta al lado $AB$ en $H$ y $J$. Muestra que $D,E,F,G,H,J$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $n$ un entero positivo. En una cuadrícula de $n\times 4$, cada región es igual a $$\boxed{2}\boxed{0}\boxed{1}\boxed{0}$$ Un "cambio" es tomar tres casillas consecutivas en el mismo renglón y con dígitos distintos escritos en ellas y cambiar los tres dígitos de estas casillas escritas de la siguiente manera $$0\to 1, \quad 1\to 2, \quad 2\to 0.$$ Por ejemplo, un renglón $\boxed{2}\boxed{0}\boxed{1}\boxed{0}$ puede cambiarse al renglón $\boxed{0}\boxed{1}\boxed{2}\boxed{0}$ pero no al renglón $\boxed{2}\boxed{1}\boxed{2}\boxed{1}$ pues $0$, $1$ y $0$ no son distintos entre sí. Los cambios se pueden aplicar cuantas veces se quiera, aún a renglones ya cambiados. Muestra que para $n<12$ no es posible hacer un número finito de cambios de forma que la suma de los números en cada una de las cuatro columnas sea la misma.

Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos circunferencias tangentes exteriormente en un punto $A$. Se traza una recta tangente a $\mathcal{C}_1$ en $B$ y secante a $\mathcal{C}_2$ en $C$ y $D$; luego se prolonga el segmento $AB$ hasta intersecar a $\mathcal{C}_2$ en un punto $E$. Sea $F$ el punto medio del arco $CD$ sobre $\mathcal{C}_2$ que no contiene a $E$ y sea $H$ la intersección de $BF$ con $\mathcal{C}_2$. Muestra que $CD$, $AF$ y $EH$ son concurrentes.

En una fiesta con $n$ personas, se sabe que de entre cualesquiera $4$ personas, hay $3$ de las $4$ que se conocen entre sí o hay $3$ que no se conocen entre sí. Muestra que las $n$ personas se pueden separar en dos salones de manera que en un salón todos se conocen entre sí y en el otro no hay dos personas que se conozcan entre sí. Nota. Conocerse se considera una relación mutua.

Decimos que una lista de números enteros $a_1,a_2,a_3\cdots,a_m$ contiene una terna aritmética $a_i,a_j,a_k$ si $1<j<k$ y $2a_j=a_i+a_k$. Por ejemplo, $8,1,5,3,7$ tiene una terna aritmética $(8,5,2)$ pero $8,1,2,5,7$ no. Sea $n$ un entero positivo. Muestra que los números $1,2,3,\cdots, n$ se pueden reordenar en una lista que no contenga ternas aritméticas.

Sea $n$ la suma de los dígitos de un entero positivo $A$. Decimos que $A$ es ""surtido"" si cada uno de los enteros $1,2,3,\cdots,n$ es la suma de algunos dígitos de $A$. Muestra que si $1,2,\cdots,8$ son sumas de algunos dígitos de un entero $A$, entonces $A$ es surtido. Si $1,2,\cdots,7$ son sumas de algunos dígitos de un entero $A$, ¿es $A$ necesariamente surtido? \nNota: El número $117$ no es surtido porque por ejemplo no se puede sumar a $3$ con algunos de sus dígitos, y $3<1+1+7$.

Para un entero positivo $n$ se definen: $n_1$ como la suma de los dígitos de $n$, $n_2$ como la suma de los dígitos de $n_2$ y $n_3$ como la suma de los dígitos de $n_2$. Por ejemplo para $n=199$, $n_1=19$, $n_2=199_2=10$ y $n_3=199_3=1$. Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(m,n)$ tales que $m+n=2007$ y $m_3+n_2=2007_3$.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB>AC>BC$. Sea $D$ un punto sobre el lado $AB$ de tal manera que $CD=BC$, y sea $M$ el punto medio del lado $AC$. Muestra que $BD=AC$ si y sólo si $\angle BAC=2\angle ABM$.