Sea $1, 4, 9, 16, ...$ la sucesión de los cuadrados de los enteros positivos. El número $10^8$ es un término de esta sucesión. ¿Cuál es el término de la sucesión que sigue después de $10^8$?

María escribió una lista de números que sumaban 22. Rita escribió una nueva lista donde los números eran el resultado de restarle al 7 cada uno de los números de la lista de María. Al sumar los números de su lista, Rita obtuvo 34. ¿Cuántos números había escrito María en su lista?

En una recta hay puntos $A$, $B$, $C$ y $D$, en algún orden. Se sabe que $AB=13$, $BC=11$, $CD=14$ y $DA=12$. ¿Cuál es la distancia entre los dos puntos más alejados entre sí?

Ordenados en una fila detrás de una cortina se formaron Armando, Beto, Carlos, Diego y Enrique, en ese orden. Armando mide más que Diego y que Enrique; el más alto es Beto y el más bajo es Carlos; Enrique es más alto que Diego. ¿Cómo se ven sus siluetas? [imagen]

En el jardín de una bruja hay 30 animales: perros, gatos y ratones. La bruja convierte 6 de los perros en gatos. Después convierte 5 de los gatos en ratones. Si después de esto hay el mismo número de perros que de gatos que de ratones, ¿cuántos gatos había al principio?

Con cubos de lado 1 se formó un cubo de $3 \times 3 \times 3$. Después, en cada una de las direcciones se hicieron perforaciones de adelante hacia atrás, de izquierda a derecha y de arriba a abajo, quitando siempre los cubos centrales de lado 1 (ver la figura). ¿Cuántos cubos de lado 1 quedaron?

Sea \( f \) una función definida en el intervalo \([0, 1]\) tal que \( f(0) = f(1) = 1 \) y \( |f(a) - f(b)| < |a - b| \), para cualesquiera \( a \neq b \) en el intervalo \([0, 1]\).\nDemuestra que\n\[ |f(a) - f(b)| < \frac{1}{2} \]

La función \( f \), definida por\[ f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \]donde \( a, b, c \) y \( d \) son números reales no nulos, cumple las siguientes propiedades\n\[ f(19) = 19, \quad f(97) = 97, \quad \text{y} \quad f(f(x)) = x \]para todos los valores de \( x \), excepto \( -\frac{d}{c} \). Encuentra el rango de \( f \).

Sea \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) una secuencia de enteros tal que\n\n (i) \( -1 \leq x_i \leq 2 \) para \( i = 1, 2, \ldots, n \);\n (ii) \( x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 19 \);\n (iii) \( x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 = 99 \).\n\nDetermina los valores mínimo y máximo posibles de\n\[ x_1^3 + x_2^3 + \ldots + x_n^3 \]

Un cuadrado de dimensiones \((n - 1) \times (n - 1)\) está dividido en \( (n - 1)^2\) cuadrados unitarios de la manera usual. Cada uno de los \( n^2\) vértices de estos cuadrados debe ser coloreado de rojo o azul. Encuentra el número de coloraciones tales que cada cuadrado unitario tenga exactamente dos vértices rojos. (Dos esquemas de color se consideran diferentes si al menos un vértice tiene un color diferente en los dos esquemas).\n