Dado $k \in \mathbb{N}^+$ . Una secuencia de subconjuntos del conjunto de enteros $\mathbb{Z} \supseteq I_1 \supseteq I_2 \supseteq \cdots \supseteq I_k$ se llama una $k-cadena$ si para cada $1 \le i \le k$ tenemos (i) $168 \in I_i$ ; (ii) $\forall x, y \in I_i$ , tenemos $x-y \in I_i$ . Determine el número total de $k-cadenas$ .

Sea $\omega \in \mathbb{C}$ , y $\left | \omega \right | = 1$ . Encuentre la longitud máxima de $z = \left( \omega + 2 \right) ^3 \left( \omega - 3 \right)^2$ .

Hay $n$ estudiantes cuyos nombres son diferentes entre sí. Cada uno tiene inicialmente $n-1$ sobres con el nombre y la dirección de los demás escritos en ellos respectivamente. Cada uno también tiene al menos una tarjeta de felicitación con su nombre firmado en ella. Todos los días, precisamente un estudiante incluye una tarjeta de felicitación (que puede ser la recibida antes) con un sobre (el nombre en la tarjeta y el nombre en el sobre no pueden ser el mismo) y la envía al estudiante designado mediante una entrega el mismo día. Demuestre que cuando nadie puede enviar las tarjetas de felicitación de esta manera nunca más: (i) Todos todavía tienen al menos una tarjeta; (ii) Si existen $k$ estudiantes $p_1, p_2, \cdots, p_k$ de modo que $p_i$ nunca envíe una tarjeta a $p_{i+1}$ , donde $i = 1,2, \cdots, k$ y $p_{k+1} = p_1$ , entonces estos $k$ estudiantes han preparado la misma cantidad de tarjetas de felicitación inicialmente.

Dada una secuencia real $\left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty}$ con $x_1^2 = 1$ . Demuestre que para cada entero $n \ge 2$ , $$\sum_{i|n}\sum_{j|n}\frac{x_ix_j}{\textup{lcm} \left ( i,j \right )} \ge \prod_{\mbox{\tiny$\begin{array}{c}\np \: \textup{es primo} \\\np|n \end{array}$} }\left ( 1-\frac{1}{p} \right ). $$

Los puntos $D,E$ se encuentran en los segmentos $AB,AC$ del $\triangle ABC$ tal que $DE\parallel BC$ . Sean $O_1,O_2$ los circuncentros de $\triangle ABE, \triangle ACD$ respectivamente. La línea $O_1O _2$ se encuentra con $AC$ en $P$ , y $AB$ en $Q$ . Sea $O$ el circuncentro de $\triangle APQ$ , y $M$ la intersección de $AO$ extendido y $BC$ . Demuestre que $M$ es el punto medio de $BC$ .

Sea $a\le 1$ un número real. La secuencia $\{x_n\}$ satisface $x_0=0, x_{n+1}= 1-a\cdot e^{x_n}$ , para todo $n\ge 1$ , donde $e$ es el logaritmo natural. Demuestre que para cualquier $n$ natural , $x_n\ge 0$ .

Los números reales $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ donde $n\ge 3$ son tales que $\sum_{i=1}^{n}a_{i}=0$ y $2a_{k}\le a_{k-1}+a_{k+1}$ para todo $k=2,3,\ldots ,n-1$. Encuentra el mínimo $f(n)$ tal que, para todo $k\in\left\{1,2,\ldots ,n\right\}$, tenemos $|a_{k}|\le f(n)\max\left\{|a_{1}|,|a_{n}|\right\}$.

Un total de $n$ personas compiten en un partido matemático que contiene $15$ problemas donde $n>12$. Para cada problema, se da $1$ punto por una respuesta correcta y $0$ se da por una respuesta incorrecta. Analizando cada situación posible, encontramos que si la suma de puntos que cada grupo de $12$ personas obtiene es no menos de $36$, entonces hay al menos $3$ personas que obtuvieron la respuesta correcta de un cierto problema, entre las $n$ personas. Encuentra el $n$ mínimo posible.

Dado un triángulo acutángulo $ABC$, $D$ es un punto en $BC$. Un círculo con diámetro $BD$ interseca a la línea $AB,AD$ en $X,P$ respectivamente (diferente de $B,D$). El círculo con diámetro $CD$ interseca a $AC,AD$ en $Y,Q$ respectivamente (diferente de $C,D$). Traza dos líneas a través de $A$ perpendiculares a $PX,QY$, los pies son $M,N$ respectivamente. Demuestra que $\triangle AMN$ es similar a $\triangle ABC$ si y sólo si $AD$ pasa por el circuncentro de $\triangle ABC$.

Define una secuencia $(x_{n})_{n\geq 1}$ tomando $x_{1}\in\left\{5,7\right\}$; cuando $k\ge 1$, $x_{k+1}\in\left\{5^{x_{k}},7^{x_{k}}\right\}$. Determina todos los posibles dos últimos dígitos de $x_{2009}$.